Гибрид из мира идей

Подготовила: Бумбак Кристина 11-а, МБОУ СОШ 3, г. Челябинск.

Натуральные Целые числа Рациональные Действительные Комплексные числа

В связи с развитием алгебры, математикам потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел, числа нового рода. Комплексные числа.

ДЖЕРОЛА́МО КАРДА́НО В своем «Великом искусстве» Кардано привел следующую задачу: Найти два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Соответствующая этой задаче система уравнений не имеет действительных решений. Кардано назвал ее корни софистическими, т.е. мудреными В своем «Великом искусстве» Кардано привел следующую задачу: Найти два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Соответствующая этой задаче система уравнений не имеет действительных решений. Кардано назвал ее корни софистическими, т.е. мудреными

РАФАЭЛЬ БОМБЕЛЛИ (ПОЧИТАТЕЛЬ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ КАРДАНО) Он начал действовать с корнями так, как оперируют с обычными числами, учитывая что

Французкий математик Декарт в 30-х годах 17- ого века ввел наименование мнимые числа, которое применяется по сей день. В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными. Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.

В 1707-ом году Муавр открыл формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Из этих соотношений для sin nx и cos nx легко получается тождество Именно его в учебной литературе чаще называют формулой Муавра.

Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Эйлер. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием. Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Эйлер. На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.

свойства

Два комплексных числа a + b·i и a - b·i называются сопряженными. Сопряженные комплексные числа в сумме дают действительное число 2a

Пример 1. (- 3 +5i) + (4 – 8i) = 1 -3i. Пример 2. (2 + 0i) +(7 + 0i) = 9 +0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что 2 и т.д., то выполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7 = 9). Пример 3. (0 + 2i) +(0 + 5i)= 0 + 7i т. е. 2i +5i = 7i

Пример 1. ( i) - (3 - 5i) = i. Пример 2. (3 + 2i) - ( i) = 6 + 0i = 6. Пример 3. (3 – 4i) - (3 + 4i) = - 8i.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 - 4i. Пример 2. (а + bi) (а - bi) = а 2 + b 2 Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число*. *Но произведение двух несопряженных комплексных чисел тоже может быть действительным положительным числом; например, (2 + 3i) (4 – 6i) = 26. Если же сумма и произведение двух комплексных чисел являются действительными числами, то эти комплексные числа непременно сопряженные.

Пример 1. Найти частное (7 – 4i) : (3 + 2i). Записав дробь, расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 +2i.Получим: Пример 2. Пример 3. Здесь проще всего сократить на (-2 + 7i)

Число называется модулем комплексного числа :

Комплексные числа можно изображать точками на плоскости. Точка с координатами (a;b) служит изображением комплексного числа, между комплексными числами и точками координатной плоскости устанавливается взаимное однозначное соответствие. С каждой точкой A координатной плоскости связан вектор OA, с началом в точке O и концом в точке A, поэтому комплексное число можно изобразить вектором OA с координатами (a;b).

O A y x b a z= a + bi;OA{a,b}

Что касается сложения и вычитания чисел a+bi и c+di, то достаточно сложить или вычесть соответствующие векторы: O d c b a b+d a+c M

Тригонометрические формы комплексного числа Обозначим через r длину вектора OM, а через угол, образованный вектором OM с положительным направлением оси Ox. Обычно r – называют модулем числа z=a+bi, а - его аргументом. O M y x

r = a= b= И потому имеет место равенство:

Для,найдем, поэтому Часто из всех значений аргумента выбирают по абсолютной величине, называя его главным значением аргумента:

Теперь если мы имеем два комплексных числа то их произведение

При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении модули делятся, а аргументы вычитаются:

Возведение комплексных чисел в степень с натуральным показателем выполняется по правилу:

которое при r=1 превращается в формулу Муавра. По этому правилу

Извлечение корня из комплексного числа

k=0,1,…,n-1, -главное значение аргумента. Так, например, где k=0,1,2, т.е. имеет три значения:

Их применение

Они нашли широкое применение в технике

С помощью комплексных чисел исследуется течение воды….

Полет самолетов и ракет

Они применяются при вычерчивании Географических карт

Используются для изучения явлений в атомах и атомных ядрах

Г. Фройденталь. Математика как педагогическая задача. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1982 М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике.- М.: Просвещение, 1966 И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987 А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989 Г.И. Глейзер. История математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1970 Ф. Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. – М.: Наука, 1987 А.И. Маркушевич. Комплексные числа и конформные отображения. – М.: Физматгиз.1960 Н.Я.Виленкин. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1987 Энциклопедия элементарной математики. Т.1. – М: ru.wikibooks.org/wiki/Комплексные_числа