Метод координат Презентация преподавателя ГБОУ СПО ПК 4 Разумовой Людмилы Александровны

Вы помните основные принципы декартовой системы координат: Ось абсцисс Ось ординат Начало координат Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную ось называют осью ординат. Точку пересечения осей называют началом координат. Ось абсцисс и ось ординат образуют вместе прямоугольную систему координат. Абсцисса всегда пишется на первом месте, а ордината на втором. М (-4; -2) Отметим на координатной плоскости точку М. Проведем из этой точки перпендикуляры к осям координат. Координаты точки записываются в скобках. Обобщим координатную систему на случай трехмерного пространства. Для этого…

x x y y z Переместим оси абсцисс и ординат в горизонтальную плоскость Проведем ось аппликат из начала координат перпендикулярно плоскости Оху Ось аппликат Выберем некоторую точку М М Проведем из точки М перпендикуляры: спроектируем точку М на плоскость Оху и проведем перпендикуляры к осям (параллельно осям координат) M умум хмхм zмzм Всегда записываются на первом месте абсцисса, на втором – ордината, на третьем – аппликата М(х, у, z)

Замечание: если одна координата точки равна 0, то точка лежит в координатной плоскости. Замечание: если две координаты точки равны 0, то точка лежит на координатной прямой Попробуйте сами изобразить точки по заданным координатам: А(2; 4; 5), В(-1; 6; 3), С(3; -3; 4), D(5; 3; 0), Е(4; 0; 9), К(0; 8; 0) Задание для практической работы у х z А Если точка имеет отрицательную координату, ось нужно продолжить за начало координат в противоположную сторону В С D Е К За единичный отрезок можно выбрать одну клетку

Координаты вектора Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz x y z На каждой из осей (в направлении оси) отложим вектор единичной длины – единичный вектор j i k p ix yj z k Разложим произвольный вектор р по координатным векторам I, j, k получим р = х i + y j + z k где х, у, z – коэффициенты разложения, они определяются однозначно и называются координатами вектора р

y x z Действия над векторами, записанными в координатной форме Координаты равных векторов равны Координаты суммы векторов равны суммам координат слагаемых Координаты разности векторов равны разностям координат векторов Координаты произведения вектора на число равны произведениям координат заданного вектора на это число Действия с векторами, записанными в координатной форме выполняются покоординатно y x z a p A B C x a =x p y a =y p z a =z p AB + BC = AC AB = AC – BC x AB + x BC = x AC x AB = x AC – x BC y AB + y BC = y AC y AB = y AC – y BC z AB + z BC = z AC z AB = z AC – z BC {x a, y a, z a }={x p, y p, z p } k{x, y, z} = {kx, ky, kz} { x AB, y AB, z AB } + { x BC, y BC, z BC } = {x AB +x BC,y AB +y BC,z AB +z BC }

Действия над векторами, записанными в координатной форме Скалярное произведение векторов Пусть даны два вектора а{x a, y a, z a } и b { x b, y b, z b } Скалярное произведение двух векторов есть число, найденное по правилу a · b=|a| · |b| · cos(a, b) Если векторы заданы в координатной форме, их можно записать каждый в виде и а = х а i + y а j + z а k b = х b i + y b j + z b k Воспользуемся свойствами выполнения скалярного произведения (аналогичными умножению многочлена на многочлен), получим сумму девяти скалярных произведений координатных орт-векторов: а ·b=x a x b ii + x a y b ij + x a z b ik + y a x b ij + y a y b jj + y a z b jk + z a x b ik + z a y b jk + z a z b kk из них произведения ортогональных векторов равны нулю остаются скалярные квадраты единичных векторовI · I = 1,j · j = 1,k · k = 1 Получаем формулу скалярного произведения векторов, записанных своими координатами ab=x a x b + y a y b + z a z b

Основные задачи, решаемые в координатах 1. Записать координаты вектора, заданного координатами его концов y x z y x z М О хмхм умум zмzм Точка М (х, у, z) Радиус-вектор ОМ ix yj z k ОМ = х i + y j + z k Вектор ОМ {x M, y M, z M } А В О АВ = ОВ – ОА проведем радиус-векторы в точки А и В Получили {x AB, y AB, z AB } = {x B -x A, y B -y A, z B -z A } АВ {x B – x A, y B – y A, z B – z A }

y x z Основные задачи, решаемые в координатах 2. Записать координат середины отрезка, заданного своими концами A B (x A, y A, z A ) (x B, y B, z B ) M Пусть в системе координат задан отрезок АВ координатами своих концов Выразим координаты середины М отрезка АВ через заданные координаты точек А и В Проведем радиус-векторы в точки А, В, М. О Получили ОМ = ½ (ОА + ОВ) по правилу действий над векторами {x M, y M, z M } = ½ ({x A, y A, z A } + {x B, y B, z B }) x M = ½ (x A + x B ) y M = ½ (y A + y B ) z M = ½ (z A + z B ) Следует запомнить: если точка М – середина отрезка АВ, её координаты находятся по правилу: (x B, y B, z B )

Основные задачи, решаемые в координатах 3. Вычислить длину вектора, заданного его координатами y x z а Через конец вектора проведем прямые, параллельные осям координат Получился прямоугольный параллелепипед, ребра которого численно равны координатам заданного вектора По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем |а|=х 2 + у 2 + z 2 Пусть вектор а задан своими координатами {x, y, z} х у z Вектор а является диагональю полученного прямоугольного параллелепипеда.

Основные задачи, решаемые в координатах 4. Вычислить расстояние между точками, заданными координатами y x z А В (x A, y A, z A ) (x B, y B, z B ) Пусть точки А и В заданы в системе координат их координаты соответственно А (x A, y A, z A ), B (x B, y B, z B ) Проведем вектор АВ Длина вектора АВ равна расстоянию между его концами, между точками А и В АВ {x B – x A, y B – y A, z B – z A } и воспользуемся формулой длины вектора Запишем вектор АВ в координатах получим формулу для расстояния между точками, координаты которых известны |АВ|=(x B –x A ) 2 +(y B –y A ) 2 +(z B –z A ) 2

p · q=|p| · |q| · cos(p, q) Основные задачи, решаемые в координатах 5. Найти угол между двумя прямыми, заданными своими направляющими векторами Пусть даны две прямые в пространстве а с На каждой из прямых выберем какой-нибудь вектор и зададим его в координатной форме р{x p, y p, z p } q{x q, y q, z q } Определение: Векторы р и q называются направляющими векторами прямых а и с Угол между прямыми а и с либо равен углу между их направляющими векторами, либо дополняет его до Найдем cos угла между векторами Запишем скалярное произведение векторов и их длин в координатной форме: |р|=х р 2 +у р 2 +z р 2 |q|=х q 2 +у q 2 +z q 2 pq=x p x q + y p y q + z p z q Получаем формулу угла между прямыми, заданными своими направляющими векторами cos(a, с)= xpxq + ypyq + zpzqxpxq + ypyq + zpzq х р 2 +у р 2 +z р 2 х q 2 +у q 2 +z q 2

Основные задачи, решаемые в координатах 6. Найти угол между прямой и плоскостью α а n р{x p, y p, z p } {x n, y n, z n } Пусть задана плоскость α и прямая а, заданная своим направляющим вектором р Вектором, описывающим положение плоскости, является ненулевой вектор n, перпендикулярный плоскости α, его называют нормалью к плоскости а угол между прямой а и плоскостью α дополняет найденный угол до 90 0, следовательно, найден sin искомого угла cos(р, n)= xpxn + ypyn + zpznxpxn + ypyn + zpzn х р 2 +у р 2 +z р 2 х n 2 +у n 2 +z n 2 sin(a,α)=cos(p,n) З а д а ч а р е ш е н а Угол между векторами р и n легко найти по известному правилу,