Задача По лестнице массой 50 кг и длиной 3 м, прислонённой к стене под углом 60 0 к горизонтали, поднимается человек массой 100 кг. Коэффициент трения между лестницей и полом µ, между лестницей и стенкой – пренебрежимо мал. Какое расстояние может пройти человек по лестнице. Решить задачу при различных µ: µ=0,2; µ=1,2; µ=2,0.

Рисунок L x

Изобразим силы, действующие на лестницу L x

Сила тяжести лестницы, приложена к её центру масс, т.е. к центру лестницы L x m0gm0g

Сила тяжести человека, приложена к точке, где он опирается на лестницу L x m0gm0g mg

Сила реакции опоры пола L x m0gm0g mg N

Сила трения о пол L x m0gm0g mg N1N1 Fтр

Сила реакции опоры стенки m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2

Выбираем ось вращения, т.к. система не вращается, её можно выбирать где угодно, но удобно выбрать так, чтобы наибольшее количество сил имело момент равный 0 m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения

Вводим оси координат и положительное направление вращения m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения x y 0

Проекция сил на ось «OX» m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения x y 0

Проекция сил на ось «OX» y L x Fтр N2N2 Ось вращения x 0

Внимание Вопрос! Может ли лестница стоять на абсолютно гладком полу? y L x Fтр N2N2 Ось вращения x 0

Проекция сил на ось «OY» m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения x y 0

Проекция сил на ось «OY» y m0gm0g L x mg N1N1 Ось вращения x 0

Уравнение моментов сил!!! m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения x y 0

Моменты сил N 1 и трения равны 0, т.к. линии действия этих сил проходят через ось вращения m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения x y 0

Моменты сил N 1 и трения равны 0, т.к. линии действия этих сил проходят через ось вращения m0gm0g L x mg N2N2 Ось вращения x y 0

Рассмотрим силу N 2 m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения x y 0

Рассмотрим силу N 2 Её момент больше 0 и равен M=N 2 d=N 2 Lsinα L x N2N2 Ось вращения x y 0 d α α

Рассмотрим силу m 0 g m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения x y 0

Рассмотрим силу m 0 g Её момент отрицателен и равен M=m 0 gd=m 0 g(L/2)cosα m0gm0g L/2 x Ось вращения x y 0 d α

Рассмотрим силу mg m0gm0g L x mg N1N1 Fтр N2N2 Ось вращения x y 0

Рассмотрим силу mg Её момент отрицательный и M=mgx sinα m0gm0g L x mg Ось вращения x y 0

Получаем уравнение моментов

Итого, все уравнения

Заметим, что в предельном случае сила трения покоя принимает максимальное значение

Тогда

Используем (2)

Используем (1)

Подставляем в (3)

Решаем

Анализ результата По смыслу задачи величина x должна быть 0 3 ) могут появиться из-за того, что в данном решении мы ищем такое x, при котором сила трения покоя принимает своё наибольшее значение Fтр=µN. Однако может быть такой точки нет!

Анализ результата Тогда X3 Означает, что сила трения покоя не примет своего максимального значения даже если человек окажется на самом верху лестницы.

Решим задачу при заданных значения коэффициента трения

Расчёт и анализ полученного результата при µ=0,2 X

Расчёт и анализ полученного результата при µ=1,2 X 0, получено разумное значение Ответ: x=2,3 м

Расчёт и анализ полученного результата при µ=2 X>3, лестница может находится в состоянии покоя, где бы не находился человек, он может подняться до верхней ступеньки (но не выше!) Ответ: x=3 м.