Функция, заданная формулой называется степенной ( с показателем ). Функция, заданная формулой называется степенной ( с показателем ).

Если, то степенная функция определена и при, поскольку. При целых формулой степенная функция определена и для При четных эта функция чётная, а при нечетных - нечетная. Поэтому исследование степенной функции достаточно провести только на промежутке (0; ).

Вы знаете формулы для производной функции лишь при целых показателях степени, а также при. Теперь нам остается вывести формулу при произвольном. Докажем, что для любого из области определения производная степенной функции находится так:

Действительно, так как, то Отсюда по правилу вычисления производной сложной функции получаем:

При степенная функция убывает на промежутке, поскольку при Х У

При имеем, поэтому степенная функция возрастает при. Кроме того, надо учесть, что при степенная функция равна 0 и при и Поэтому точка 0 присоединяется к промежутку возрастания, т.е. при степенная функция возрастает на промежутке [0; ).

Х Х У У

Иначе дело обстоит с первообразной степенной функции. При общий вид первообразных степенной функции таков: При первообразной функции является функция