( по материалам «Математического клуба Кенгуру»)

Аполлоний Пергский (πολλώνιος Περγαος, Перге, 262 до н. э. 190 до н. э.) древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н. э. Перге262 до н. э.190 до н. э. древнегреческийматематикЕвклидомАрхимедомIII веке до н. э.Перге262 до н. э.190 до н. э. древнегреческийматематикЕвклидомАрхимедомIII веке до н. э. Аполлоний прославился в первую очередь монографией «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию в которой дал содержательную общую теорию эллипсаэллипса, параболы и гиперболы. параболыгиперболы эллипсапараболыгиперболы Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликатаасимптотаабсциссаординатааппликатаасимптотаабсциссаординатааппликата «Парабола» означает приложение или притча. «Парабола» означает приложение или притча. Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция. Долгое время так называли линию среза конуса, пока не появилась квадратичная функция.

Подумаем, как можно получить массу информации о коэффициентах квадратного трехчлена у =ах 2 + bх + с, рассматривая его график параболу. Сначала напомним хорошо известные факты. 1) Знак коэффициента а (при х 2 ) показывает направление ветвей параболы: а > 0 ветви вверх; а < 0 ветви вниз. Модуль коэффициента а отвечает за «крутизну» параболы: чем больше |a|, тем «круче» парабола.

2 ) Коэффициент b (вместе с а ) определяет абсциссу вершины параболы: В частности, при а = 1 абсцисса вершины квадратного трехчлена у = х 2 + bх +с равна При b > 0 вершина расположена левее оси Оу, при b < 0 правее, при b = 0 на оси Оу

3 ) Сохраняя коэффициенты a и b и изменяя с, мы будем «поднимать» и «опускать» параболу вдоль оси оу. Как «прочитать» на чертеже значение с ? Ясно, что с = у(0) ордината точки пересечения параболы с осью Оу.

Упражнение 1. Для каждого из квадратных трехчленов: найдите на чертеже его график.

а > 0 ветви вверх; а < 0 ветви вниз. чем больше |a|, тем «круче» парабола. Значит: Решение. Упражнение 1

Упражнение 2 Для каждого их квадратных трехчленов найдите на чертеже его график.

Решение. Упражнение 2 При b > 0 – вершина расположена левее оси Оу, при b < 0 правее, при b = 0 на оси Оу при a >0 при a

А теперь, когда мы вспомнили как влияют коэффициенты на построение графика параболы выполним следующие упражнен ия:

Упражнение 3 На чертеже изображены графики функций а) Где какой график? б) Что больше: с или 1? в) Определите знак b.

Решение. Упражнение 3 а) Где какой график? б) Что больше: с или 1? в) Определите знак b. б) с > 1 а) в) b > 0 ( a

Упражнение 4 На чертеже изображены графики функций причем ось оу, идущая, как всегда, «снизу вверх» перпендикулярно оси ох, стерта. а) Какая функция имеет график 1, а какая -2? б) Определите знаки c и d. в) Определите знак b.

Решение. Упражнение 4 На чертеже изображены графики функций а) б) c >0; d< 0. в) b

Упражнение 5 На чертеже изображены графики функций у = х 2 + 4х + с, у = х 2 + bx + d и у = х 2 + 1, причем ось Ох, идущая, как всегда, «слева направо» перпендикулярно оси Оу, стерта. а)Какая функция имеет график 1, какая 2, а какая 3? б)Определите знак Ь. в)Что больше: с или d? г)Определите знаки с и d.

Решение. Упражнение 5 а)Какая функция имеет график 1, какая 2, а какая 3? б)Определите знак b. в)Что больше: с или d? г)Определите знаки с и d. а) – 2 – 3 – 1 б) bd г) c и d больше нуля 1 23

Упражнение 6. На чертеже изображены графики функций у = ах 2 + х + с и у = –х 2 + bх + 2, причем оси Оу и Ох, расположенные стандартным образом (параллельно краям листа, Ох горизонтально «слева направо», Оу вертикально («снизу вверх»), стерты. а) Определите знак b. б) Определите знак с. в) Докажите, что

Решение. Упражнение 6 а) Определите знак b б) Определите знак с. в) Докажите, что у = aх 2 + х + с у = –х 2 + b х + 2 1) Ветви параболы у = aх 2 + х + с направлены вверх, значит а>0, знак абсциссы вершины параболы минус. Тогда, у параболы у = –х 2 + b х + 2 абсцисса тем более отрицательна. Значит b

а ордината равна. Ордината вершины параболы равна. Сравним их: т.е ч.т. д. у = aх 2 + х + с

Решение упражнений основывается на тех фактах, которые мы знаем о коэффициентах квадратного трехчлена. Свойства параболы чрезвычайно богаты и разнообразны, используя их решите следующую задачу.

Задача Задача. Известно, что парабола, являющаяся графиком квадратного трехчлена у = ах х + с, не имеет точек в третьей четверти. Какое из следующих утверждений может быть неверным? (A) а>0 (B) Вершина параболы лежит во второй четверти. (C) с 0 (D) c > 0,1 (Е) 1ОО – 4 ас 0.

Решение. Поскольку парабола не имеет точек в III четверти, то не может быть отрицательным. Итак,,следовательно, абсцисса вершины х 0 < 0. То есть вершина не может лежать ни в I, ни в IV четвертях. В III четверти ее нет по условию, значит, она лежит во II четверти. Итак, парабола обязана иметь такой вид, как показано на рисунке, поэтому условия А, В и С обязательно выполняются. Неравенство в Е означает, что дискриминант неположителен, то есть у квадратного трехчлена не более одного корня, это условие тоже обязательно выполняется. Условие с > 0,1 ни из чего не следует. Действительно, оно может быть нарушено, например, для параболы у = х х + 0,01, удовлетворяющей условиям задачи. Ответ: (D).

Самые близкие родственники параболы – это окружность, гипербола и эллипс. У этого термина существуют и другие значения. (литература) Пара́бола «сравнение, сопоставление, подобие, приближение»: Небольшой рассказ иносказательного характера, имеющий поучительный смысл и особую форму повествования, которое движется как бы по кривой (параболе): начатый с отвлечённых предметов, рассказ постепенно приближается к главной теме, а затем вновь возвращается.

( по материалам «Математического клуба Кенгуру»)