Геометрический смысл производной Если y = f(x) непрерывна на I, то существует f(x 0 ), где x 0 є I В точке x 0 существует касательная y = kx + b, k = f ´ (x 0 ) = tgα, где α – угол наклона касательной к оси ОХ

Решение: 1. Угол наклона острый, значит, значение производной положительно. 2. Построим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является отрезок касательной, а вершины находятся в вершинах клеточек. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найти значение производной функции в точке х 0 Ответ: Найдем отношение вертикального катета к горизонтальному 9:3 = 3.

Решение: 1. Угол наклона тупой, значит, значение производной отрицательно. 2. Прямоугольный треугольник имеет катеты, равные 2 и Отношение равно 2 : 8 = 0,25 Ответ: - 0,25

На рисунке изображен график функции. Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной функции в точке. Ответ: 1,

Алгоритм решения: 1.По формуле, задающей прямую у = kx +b определить f ´(x 0 ) =k. 2.Построить прямую, параллельную оси Ох и проходящую через точку (0; k). 3.Найти абсциссу точки пересечения прямой с графиком производной. На рисунке изображен график - производной функции на промежутке (-2,5 ; 8). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней. k = 2 f´(x) =2 5 Ответ: 5 2

На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна ) Если f´ (x)>0, то функция возрастает. Найдем промежутки возрастания. 2) Определим целочисленные значения х на промежутках возрастания. 3) Подсчитаем их количество. Ответ: 4

На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале. Найдите промежутки убывания функции. В ответе укажите сумму их длин. 1)Если функция убывает, то ее производная отрицательна, т.е. ее график расположен ниже оси Ох. Найдем эти промежутки. 2)Определим сумму их длин. Ответ: 6

На рисунке изображен график функции, определенной на интервале. Найдите сумму точек экстремума функции. 1)В точках экстремума график производной пересекает ось Ох. 2)Найдем координаты этих точек. 3)Вычислим их сумму. y=f´(x) -1 5 Ответ: 4

На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале. В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение. На отрезке [-3;2] график производной находится ниже оси Ох, значит, функция убывает и своего наибольшего значения она достигает на левом конце отрезка Ответ: -3

Найдите точку минимума функции. 1.Найдите область определения функции х є (-3; +) 2. Найдите производную данной функции y´(x) = 3. Найдите значения х, при которых производная равна нулю (стационарная точка): х = Проверьте, принадлежит ли данное значение х заданному промежутку -2 є (-3; +)

5. На числовой оси отметьте промежуток, являющийся областью определения функции и стационарную точку. f´(x) f(x) x Ответ: С помощью пробной точки определите знаки производной на каждом интервале и промежутки возрастания и убывания:

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке Если стационарных точек на отрезке нет, значит функция на этом отрезке монотонна, и своего наибольшего или наименьшего значения функция достигает на концах отрезка Если стационарные точки на отрезке есть, значит нужно вычислить значения функции во всех этих точках и на концах отрезка, и выбрать из полученных чисел наибольшее или наименьшее Найти стационарные точки функции Найти производную функции

Тест

1) На рисунке изображен график функции и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной f(x) в точке x 0. x А) 3; Б) 0,5 ; В) – 0,5 ; Г) - 3. f(x) y 1 X 0 0 1

4) Найдите производную функции y = 5 ln 3x А) 5 / 3x; Б) 5 / x; В) 15 / x; Г) 15 / ln3x

5) На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале ( - 8; 3). Определить количество целых точек, в которых производная функции отрицательна А) 5; Б) 10; В) 4; Г) 9.

6) На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (- 8; 5). В какой точке отрезка [0; 4] функция принимает наименьшее значение? А) 0; Б) 1; В) 2,2; Г) 4.

Ответы: Б; В; Г; Б; В; А

Самостоятельная работа

x y y x Найдите сумму точек экстремума 1 вариант2 вариант f´(x)

вариант Найдите 2 вариант Найдите

1 вариант Найти наименьшее значение функции на отрезке [ ;1 ] 2 вариант Найти наименьшее значение функции на отрезке [ 1;е ]

Проверь себя 1 вариант 2 вариант 1)-3 1) 2 2) 1 3)Функция возрастает 3) Функция убывает на отрезке; на отрезке ; у( 1/e) = 4 - 1/2e 2 y(e) = 6 – e 2 /2

Проверка домашней работы

Задача 1. Для функции f(х) =х 2 - 4х +1 найдите координаты точки, в которой угловой коэффициент касательной к графику функции равен 2. Решение: D(f) =R, f(x) = 2x – 4. По условию задачи: f(x 0 ) = 2, значит, 2x 0 – 4 =2 x 0 = 3, y 0 = 2·3 – 4 = 2. Ответ: (3; 2). y 0 = 3 2 – 4 ·3 + 1 = -2 -

1 а) (4e x + 5)´ = 4е х ; б) (2x + 3e -x )´= 2 + 3е -х ; в) (3 – e x /2)´= – е х /2; г) (5e -x – x 2 )´= -5е х – 2х. 2 а) (e x cosx)´=е х (cosx+sinx); б) (3e x +2 x )´=3e x +2 x ln2; в) (3 x -3x 2 )´=3 x ln3 – 6x; г) (x 2 e x )´= 2xe x xe x (2+ x).