Применение производной к исследованию функций Производная и экстремумы. Исследование функций на монотонность. Урок в 10-3 классе. Учитель – Ирина Геннадьевна Рубцова МОУ лицей 18 г. Калининграда 1

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ РАЗМИНКА Кое - что о свойствах функций. 2

1. Закончите формулировки утверждений : А ) функцию у =f( х ) называют возрастающей на множестве Х C D(f), если для любых двух точек х 1 и х 2 множества Х, таких, что х 1 < х 2,……….. Б ) если в некоторой точке графика функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция …………………. В ) если к графику функции y=f( х ) в точке с абсциссой х =a можно провести касательную, непараллельную оси у, то f ( а ) выражает ……………………… Г ) если касательная к графику функции y=f( х ) в точке х = а образует с положительным направлением оси Х острый угол, то производная в этой точке ………………………. 3

2. Выберите верное утверждение : А ) Точку х 0 называют точкой максимума функции у =f( х ), если для всех х х 0 выполняется неравенство f( х )

3. Определите знаки производной функции у =f( х ) в отмеченных точках. у D У=f(х)У=f(х) 5 0 В А С Е F G H К Х

1. Ответы : А ) функцию у =f( х ) называют возрастающей на множестве Х C D(f), если для любых двух точек х 1 и х 2 множества Х, таких, что х 1 < х 2, выполняется неравенство f( х 1 )

2. Верное утверждение : В ) Точку х 0 называют точкой максимума функции у =f( х ), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, таких, что х х 0, выполняется неравенство f( х )

3. Ответы : производная равна нулю в точках В, D, Н ; положительна в точках С, G; отрицательна в точках А, Е и не существует в точках F,K. У =f( х ) 8 А В С D Е F G H K X Y 0

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ. Определенно, существует тесная связь между свойствами функции и ее производной. Но какая – предстоит найти. Итак, … 9

Задание 1. Опишите характер монотонности функций в окрестностях точек х = а и х = b. Являются ли точки с абсциссами а и b экстремумами данных функций ? Как ведут себя касательные к графикам этих функций в указанных точках ? Найдите, если возможно, значения производных этих функций в данных точках. Сделайте вывод о необходимом условии существования экстремума функции в точке. y У=f(x) аb0 x y Y=g(x) ab0 x 10

Теорема. Если функция у =f( х ) имеет экстремум в точке х = х 0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. У=f(х)У=f(х) Особые точки : Х 1, х 2 – стационарные точки, Х 3 - критическая точка. Х 1, х 3 – точки максимума, Х 2 - точка минимума. у х2х2 х1х1 х3х3 х0 11

Новые термины : Стационарная точка – внутренняя точка области определения функции, в которых производная равна нулю. Критическая точка – внутренняя точка области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует. 12

Задание 2. Найдите точки, в которых функция у = х 3 - 3х + 1 может иметь экстремумы. Решение: f (x)=3x f (x) существует при всех значениях аргумента. f (x)=0 при х=1 и х=-1. Эти точки могут быть точками экстремума. 13

Сравните данный чертеж с предыдущим и подумайте : является ли указанное условие достаточным для существования экстремума в данной точке ? у У=f(х)У=f(х) х А В а b 0 14 а- стационарная точка b – критическая точка

Вывод : при переходе через точку экстремума характер монотонности функции меняется Вопрос : как связаны монотонность функции и производная ? 15

Рассмотрите рисунки и постарайтесь установить зависимость между знаком производной и характером монотонности функции на промежутке [a;b]. Сформулируйте выводы. у у хх0 0 У= f (х) У= g (х) х1х1 х2х2 х1х1 х2х2 a b a b Рис.1Рис. 2 16

Сравните свои выводы со следующим утверждением : Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна ( соответственно отрицательна ) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает ( соответственно убывает ) на Х. 17

Сравните формулировки теорем : Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная положительна ( соответственно отрицательна ) во внутренних точках этого промежутка, то функция y=f(x) возрастает ( соответственно убывает ) на Х. Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на промежутке Х и ее производная неотрицательна ( соответственно неположительна ) во внутренних точках этого промежутка и равна нулю лишь в конечном множестве точек, то функция y=f(x) возрастает ( соответственно убывает ) на Х. 18

ОБОБЩАЕМ ИНФОРМАЦИЮ И ДЕЛАЕМ ВЫВОДЫ. Чтобы точка х = х 0 была точкой экстремума функции, достаточно, чтобы : ………( ваше мнение ?) 19

У=f(х)У=f(х) у х2х2 х1х1 х3х3 х0 20

Теорема ( достаточные условия экстремума ). Пусть функция у=f(x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х 0. Тогда: а) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x0, то х=х 0 – точка минимума функции у=f(x); б) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x0, а при x>x 0 - неравенство f (x)

Решите задачу : На рисунке – эскиз графика функции у =f ' ( х ) ( график производной функции у =f( х )). Укажите : Промежутки монотонности функции у =f( х ); Точки, в которых касательная к графику функции у =f( х ) параллельна оси абсцисс ; Стационарные и критические точки ; Точки минимума и максимума. х0х0 х1х1 х2х2 0 у хх3х3 х4х4 У= f ' (х) 22 х5х5

Ответы : Функция возрастает на промежутках [x 0 ;x 2 ] и [x 2 ;x 4 ] Точки, в которых касательная к графику функции у =f( х ) параллельна оси абсцисс : х 0, х 2, х 4. Стационарные точки : х 0, х 2, х 4. Критическая точка : х 5 ; Точка минимума - х 0, максимума – х 4. х0х0 х1х1 х2х2 0 у хх3х3 х4х4 У= f ' (х) 23 х5х5

Успехов ! Спасибо за внимание ! 24