Выполнила учитель высшей категории Самсонова Надежда Александровна

Историческая справка Формулировка теоремы Пифагора Доказательство теоремы Еще несколько доказательств Реши задачи Решение задач Заключение

Историческая справка Существует замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором ( VI в. до н. э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Формулировка теоремы АС В В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Доказательство теоремы 1. Достроим АВС до квадрата СКРД со стороной ( а + в ); S СКРД = ( а + в ) 2 = а ав + в 2 2. ВСА =АКЕ =ЕРМ =МДВ ( по двум катетам ) С А В Д М Р Е К S ВСА = S АКЕ = S ЕРМ = S МДВ = ав /2 3. ВАЕМ – квадрат, S ВАЕМ = c 2 4. S СКРД = S ВАЕМ + S ВСА + S АКЕ + S ЕРМ + S МДВ 5. ( а + в) 2 = с * ав/2 а 2 + 2ав + в 2 = с 2 + 2ав, откуда с 2 = а 2 + в 2 Дано: АВС,

Еще несколько доказательств теоремы Пифагора Теорема Пифагора ( другая формулировка) Сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на его гипотенузе Именно так выглядела классическая формулировка теоремы. Картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора, была ранее своеобразным символом геометрии, а в среде российских гимназистов получила название « Пифагоровы штаны».Саму теорему они переиначили так: « Пифагоровы ш таны н а в се стороны р авны ». И в этой шуточной формулировке запоминали ее на всю жизнь.

Приведем одно из многочисленных геометрических доказательств теоремы Пифагора. Оно отлично от доказательства самого Пифагора, но широко известно и даже встречается в художественной литературе. Впрочем, п о с ути, и д оказательства к ак т акового н ет. Все с водится к « предъявлению » д вух д анных картинок, п осмотрев н а к оторые в ы б ез т руда убедитесь, ч то т еорема П ифагора д оказана !.. Убедились ? 4S + a 2 + b 2 = 4S + c 2 4S + a 2 + b 2 = 4S + c 2

Этот рисунок демонстрирует старинное индийское доказательство теоремы Пифагора. Его можно найти в сочинении Бхаскары ( индийский математик, живший в XII в.) Оно сопровождается Одним словом :«СМОТРИ»

1.Дан прямоугольный треугольник KMN. KN = 12cм, KM = 13см. Найти MN. KN M 12 cм 13 см 2. Дан прямоугольник DFRO, RO:DO = 3:4 Найти FR, FD. FR OD 25см 3. В треугольнике АВС высота CD, опущенная из вершины прямого угла С, делит гипотенузу АВ на отрезки АD =9 см и DB = 16 см. Катет ВС = 20 см. Найдите катет АС и высоту CD этого треугольника. 321

Задача 1 Т. К. треугольник прямоугольный, то применим теорему Пифагора: с 2 = а 2 + в 2 КМ 2 = KN 2 + NM 2 => MN 2 =KM 2 – KN 2 => MN 2 = = 25, MN = 5см Ответ : MN = 5 см.

Задача 2 1.Рассмотрим треугольник DFR – прямоугольный ( DFRO- прямоугольник ) 2. RO = FD и DO = FR (по свойству параллелограмма) 3. FD = 3x см и FR = 4x см, т.к. RO : DO = 3:4 и х – 1 часть 4. Используя теорему Пифагора, составим равенство : FD 2 + FR 2 = DR х х 2 = 625 ( решаем уравнение) 25х 2 = 625 х 2 = 25 х 1 = 5, х 2 = - 5 ( - 5 не является решением задачи) 6. FD = 3 * 5 = 15(cm) FR = 4 * 5 = 20 (cm) Ответ : FR = 20 см и FD = 15 см

Задача 3 Дано : АВС – прямоугольный, CD 2 = CB 2 – DB 2 CD 2 = 400 – 256 = 144, CD = 12 cm 3. Рассмотрим ACD – прямоугольный ( CD - h) 4. По теореме Пифагора AC 2 = AD 2 + CD 2 AC 2 = = 225, AC = 15 cm Ответ: CD = 12cm, AC = 15 cm

Пребудет вечной истина, как скоро Поэтому всегда с тех самых пор, Ее познает слабый человек! Чуть истина рождается на свет, И ныне теорема Пифагора Быки ревут, ее почуя,вслед. Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвопринашенье Они не в силах свету помешать, Богам от Пифагора. Сто быков А могут лишь закрыв глаза дрожать Он отдал на закланье и сожженье От страха, что вселил в них Пифагор. За света луч, пришедший с облаков.