Автор презентации: учитель математики МБОУ«Малошильнинская СОШ» Тукаевского района Республики Татарстан Киямова Фируза Мухамматовна

Алгоритм исследования функции

Находим область изменения функции: Областью изменения функции f(х) называют множество всех чисел f(х), соответствующих каждому х из области определения функции.

2. Выясняем четность функции. Если f(-x)=f(x), то функция f(x) называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Если f(-x)=-f(x), то функция f(x) называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3.Выясняем периодичность функции Если f(x+T)=f(x) при некотором T>0, то функция y=f(x) называется периодической. График периодической функции имеет одну и ту же форму на каждом из отрезков …, [-2T; -T], [-T; 0], [0; T], [T; 2T], …. Поэтому достаточно построить график на каком-нибудь одном таком отрезке и затем воспроизвести полученную кривую на остальных отрезках.

4. Находим точки максимума и минимума функции и интервалы возрастания и убывания (интервалы монотонности). Для этого: вычисляем производную f(x) и находим критические точки функции, т.е. точки, в которых f(x)=0 или не существует; определяя знак производной, находим интервалы возрастания и убывания функции: если f(x)>0, то функция возрастает, если f(x)

5. Находим точки перегиба функции и интервалы выпуклости вверх/вниз. Для этого: вычисляем вторую производную f(x) и находим точки, принадлежащие области определения функции, в которых f''(x)=0 или не существует; определяя знак второй производной, находим интервалы выпуклости и вогнутости: если f(x)0, то график функции имеет выпуклость вниз; если вторая производная меняет знак при переходе через точку x o є D, в которой f''(x)=0 или не существует, то x o – точка перегиба.

6. Находим асимптоты функции.

7. Есть ли у функции промежутки, где она возрастает (убывает)? f(x)> 0, функция возрастающая f(x)

8. Есть ли у нее промежутки знакопостоянства? f(x) = 0 на промежутке, => функция f(х) постоянная на этом промежутке. Если в точке x o производная меняет знак c «+» на «-», то x o - точка локального максимума; Если в точке x o производная меняет знак с «-» на «+», то x o - точка локального минимума.

Пример

Знак второй производной f(x)х(-1;0)(0;1)f(x)-+-+ Вторая производная меняет знак только в одной точке х=0 = > xo=0 – точка перегиба. На интервалах (-;-1) и(0;1) график функции имеет выпуклость вверх, а на интервалах (-1;0) и (1; +) - выпуклость вниз. Вычислим координаты нескольких точек:х01/223 f (х) 0 2/3 - 2/32/33/8

График имеет вид.