Уроки геометрии в 7-м классе Тема уроков: «Задачи на построение» Учитель математики ГБОУ СОШ 1194 г. Москва Гаврилова Ирина Николаевна

План изучения темы: 1. Вступительная лекция: - Исторические сведения; - Инструменты для построения; 2. План решения задач на построение; 3. Выполнение простейших задачи на построение; 4. Решение задач на построение; 5. Задачи для самостоятельного решения. 2

Исторические сведения: И в Вавилоне, и в Древнем Египте в IV–II тысячелетиях до н.э. уже существовала практическая математика (в виде правил записи чисел, т.е. системы счисления, и правил различных вычислений), и практическая геометрия – геометрия в изначальном смысле слова: измерение земли. Но и при измерениях, и при строительных работах нужны были построения. 3

С помощью линейки выделить прямую из множества всех прямых: 1.произвольную прямую; 2.произвольную прямую, проходящую через заданную точку; 3.прямую, проходящую через две заданных точки; С помощью циркуля выделить окружность из множества всех окружностей: 1.произвольную окружность; 2.произвольную окружность с центром в заданной точке; 3.произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками; 4.окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками. Инструменты для построения: 4

2. План решения задач на построение Анализ: Предположить, что задача решена, сделать примерный чертеж искомой фигуры, отметить те отрезки и углы, которые известны из условия задачи, и стараться определить, к нахождению какой точки (прямой, угла) сводится решение задачи. Построение: Описать способ построения. Доказательство: Доказать, что множество точек, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством точек. Исследование: Выяснить, всегда ли (при любых ли данных) описанное построение возможно, нет ли частных случаев, в которых построение упрощается или делается невозможным. 5

3. Выполнение простейших задачи на построение Построение 1: построить треугольник по трем сторонам, т.е. построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам а, b и с. С помощью линейки проведем произвольную прямую и отметим на ней произвольную точку B. Раствором циркуля, равным a, описываем окружность с центром в точке B и радиусом a. Пусть C – точка ее пересечения с прямой. Описываем окружность с центром в точке B радиуса c и с центром в точке C радиуса b. Пусть A – точка пересечения построенных окружностей. Треугольник ABC построен. 6

Построение 2: построить угол, равный данному, от данной полупрямой в данную полуплоскость. Анализ. (рис 2а) Пусть a – данный луч с вершиной A, а угол (ab) искомый. Выберем точки B и C на лучах a и b соответственно. Соединив точки B и C, получим треугольник ABC. В равных треугольниках соответственные углы равны, и отсюда вытекает способ построения. Если на сторонах данного угла каким-то удобным образом выбрать точки C и B, от данного луча в данную полуплоскость построить треугольник AB1C1, равный ABC (а это можно сделать, если знать все стороны треугольника, см. предыдущую задачу), то задача будет решена. 7

Проведем окружность с центром в вершине данного угла. Пусть B и C – точки пересечения окружности со сторонами угла (рис. 2b). Радиусом AB проведем окружность с центром в точке A1 – начальной точке данного луча. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим B1. Опишем окружность с центром в B1 и радиусом BC. Точка пересечения C1 построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла. Построение: Доказательство: Треугольники ABC и A1B1C1 (рис.2а) равны по трем сторонам. Углы A и A1 – соответствующие углы этих треугольников. Следовательно, САВ = С1А1В1. 8

Построение 3: построить биссектрису данного угла. Анализ (рис. 3b). Пусть луч AD – биссектриса данного угла A. Для построения биссектрисы нам необходимо построить точку D на ней, отличную от A. Выберем на разных сторонах угла точки C и B. Соединим их с точкой D. Если отрезки AB и AC равны, т.е. AB = AC, то Δ ABD = Δ ACD и, следовательно, BAD = CAD и луч AD – биссектриса. 9

Построение: Из вершины A данного угла, как из центра, опишем окружность произвольного радиуса. Пусть B и C – точки пересечения ее со сторонами угла ( рис. 3). Построим еще две окружности с тем же радиусом с центрами в B и C. Пусть D – точка их пересечения. Тогда луч AD – искомая биссектриса угла A. Доказательство: (рис.3а) Соединим точку D с точками B и C. Полученный четырехугольник ABDC – ромб. AD – его диагональ. По свойству диагоналей ромба луч AD – биссектриса данного угла A. 10

Построение 4: деление отрезка пополам (одновременное построение серединного перпендикуляра данного отрезка). Анализ. Пусть AB – данный отрезок, точка O – его середина, прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку AB. Выберем произвольную точку C на прямой a, отличную от точки O. В Δ ACB CO – одновременно медиана и высота. Следовательно, Δ ACB равнобедренный, и AC = BC. Отсюда возникает следующий способ построения точки O – середины отрезка AB. Построение: Из точек A и B циркулем описываем окружность радиусом AB. Пусть C и C1 – точки пересечения этих окружностей. Они лежат в разных полу плоскостях относительно прямой AB. (рис. 4а) Доказательство: Соединим точки C и C1 с концами отрезка AB. По построению AC1 = AC = C1B = CB. Поэтому равнобедренные треугольники CAC1 и CBC1 равны по трем сторонам. Отсюда следует равенство углов ACO и BCO. В равнобедренном треугольнике ABC CO – биссектриса, проведенная к основанию, следовательно, она медиана и высота. Отсюда AO = OB, и точка O – середина отрезка AB. 11

Построение 5 : через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a. Возможны два случая: точка O лежит на прямой a; точка O не лежит на прямой a. Случай 1. Анализ. Пусть a – данная прямая, O – данная точка на ней, b – искомая прямая, перпендикулярная прямой a и проведенная через точку O. Из предыдущей задачи нам известен способ построения серединного перпендикуляра к отрезку AB. Тогда, если точка O – середина некоторого отрезка, то b – серединный перпендикуляр к этому отрезку и проходит через точку O. Построение: (рис. 5) Отложим от точки O по разные стороны от нее на прямой a одинаковые отрезки OA, OB. Проведем две окружности одинакового радиуса AB с центром в точках A и B соответственно. Они пересекаются в точке C. Проведем прямую OC. Она перпендикулярна прямой a. 12

Доказательство: (рис.5а) Треугольник ABC – равнобедренный по построению: AC = BC = AB. CO – медиана по построению: AO = OB. Следовательно, СО АВ. Случай 2. Анализ. (рис. 5b) Пусть O – данная точка, лежащая вне данной прямой a, b – прямая, проходящая через точку O и перпендикулярная прямой a. Чтобы построить прямую, нам необходимо указать (построить) еще какую-либо ее точку. Для этого проанализируем: какими свойствами обладают точки прямой b a? В частности, любые две равные наклонные к прямой a, проведенные из точки O, имеют одинаковые проекции. Поэтому, если OA = OB – такие наклонные, то должно быть AC = CB, где C – точка пересечения прямых a и b. 13

Построение: (рис. 5с) Проведем окружность с центром в точке O, пересекающую прямую a в двух точках A и B. Проведем две окружности с центрами в точках A и B и радиусом, равным OA. Пусть O1 – точка пересечения, отличная от точки O, (O и O1 лежат в разных полуплоскостях). Тогда прямая (OO1) перпендикулярна данной прямой a. Через точку O проведем прямую, перпендикулярную данной. Доказательство: По построению AO = OB = BO1 = AO1. Четырехугольник AOBO1 – ромб. OO1и AB – его диагонали. По свойству диагоналей ромба ОО1 АВ. 14

Построение 6: построение прямой, проходящей через данную точку А параллельно данной прямой а. Анализ. Если точка А лежит на прямой a, то задача не имеет решения, поэтому, пусть A лежит вне прямой a, и b || a – искомая прямая. Через точку A проведем секущую AB, B a. По свойству параллельных прямых внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. Верно и обратное: если внутренние накрест лежащие углы при прямых a и b и секущей AB равны, то a || b. Отсюда способ построения. Построение. (рис. 6) Через заданную точку A и произвольную точку B прямой a проведем прямую AB. Пусть C – произвольная, отличная от B точка прямой a. Построим от луча AB в полуплоскость, не содержащую точку C, угол, равный углу ABC. Пусть AD – сторона построенного угла. Тогда прямая AD || a. Через точку A проведем прямую, параллельную данной. Доказательство: (рис. 6) Доказательство следует из признака параллельности прямых (теорема: Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.), ввиду равенства углов ABC и BAD как внутренних накрест лежащих при прямых a, AD и секущей AB. 15

4. Решение задач на построение Задача 1. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на основание. 16

Задача 2. Построить треугольник по данному периметру и двум углам. По данному отрезку Р и двум углам требуется построить треугольник, периметр которого равен Р, и два его угла равны двум данным углам. 17

Задача 3. Дан отрезок m и острый угол. Построить прямоугольный треугольник с углом, в котором разность катетов равна m. 18

Задача 4. Даны два отрезка а и m. Построить равнобедренный треугольник с основанием а и медианой к боковой стороне m. 19

5. Задачи для самостоятельного решения Задача 1. Через данную точку провести прямую под данным углом к данной прямой. Указание к решению задачи (рис. 13): Построить угол, равный данному в произвольной точке данной прямой, одна из сторон которого лежит на этой прямой; затем через данную точку провести параллельную прямую. 20

Задача 2. описать окружность, которая проходила бы через данную точку А и касалась бы данной прямой в данной на ней точке В. Указание к решению задачи (рис. 14): К данной прямой восстановить перпендикуляр из данной точки В, построить серединный перпендикуляр к отрезку АВ (А – другая данная точка). Их пересечение – точка О – центр искомой окружности, ОВ – радиус. 21

Задача 3. Провести в треугольнике прямую, параллельную основанию так, чтобы отрезок, заключенный между боковыми сторонами был равен сумме отрезков боковых сторон, считая от основания. Указание к решению задачи (рис. 15): Через точку пересечения биссектрис провести прямую MN, параллельную основанию. Получим равнобедренные треугольники ONC и ОМА (теорема о накрест лежащих углах при параллельных прямых, свойства сторон и углов в равнобедренном треугольнике). 22

Задача 4. На прямой АВ найти такую точку С, чтобы лучи СМ и СN, проведенные из С через данные точки М и N, расположенные по одну сторону от АВ, составляли с лучами СА и СВ равные углы. Указание к решению задачи (рис. 16): Точка С – пересечение прямых MN и АВ, где M – точка, симметричная М относительно АВ. 23

Список литературы: 1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др., Геометрия 7-9, учебник для общеобразовательных учреждений, «Просвещение», М., 2009; 2.Р.С. Сазоненко, Теоремы и задачи по планиметрии с перекрестными ссылками 7-9 классы, Издательство института математики СО РАН, Новосибирск, 1998; 3.Т.С. Пиголкина, Математика, задание 2 для 8-х классов ЗФТШ МФТИ, Долгопрудный, 2005; 4. 8/section/paragraph4/theory.html;