Геометрическая прогрессия и сложный процент Выполнили : Дубровин Геннадий Есаян Левон Клочков Роман Руководитель : Руководитель : Славинская Галина Николаевна

Геометрическая прогрессия { a n }: a 1, a 2, a 3,…, a n,… Рекуррентная формула: a n +1 = a n * q – знаменатель геометрической прогрессии Рекуррентная формула: a n +1 = a n * q – знаменатель геометрической прогрессии Формула вычисления a n : a n = a 1 * q n-1 Формула вычисления a n : a n = a 1 * q n-1 Основное характеристическое свойство: a = a n -1 * a n +1 Основное характеристическое свойство: a = a n -1 * a n +1 Сумма n первых членов прогрессии: S n= a 1 ( 1 - q n ) Сумма n первых членов прогрессии: S n= a 1 ( 1 - q n ) 2n2n2n2n 1 -q1 - q1 -q1 - q

Сложный процентный рост Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц p % от имеющейся на Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц p % от имеющейся на счёте суммы, если вкладчик не снимает проценты. счёте суммы, если вкладчик не снимает проценты. S 0 – первоначальный взнос. S 0 – первоначальный взнос. Через n месяцев на счёте: S n = S 0 *(1+р/100) n Через n месяцев на счёте: S n = S 0 *(1+р/100) n

Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна S 0, i=p/100 – cтавка сложных %, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит S 0 (1+i), через 2 года S 0 (1+i)(1+i)= S 0 (1+i) 2, через n лет S 0 (1+i) n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов S= S 0 (1+i) n где S наращенная сумма, i годовая ставка сложных процентов, n срок ссуды, (1+i) n множитель наращения. Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен S 0, а знаменатель (1+i).

Четыре основные задачи на сложный процент S0S0 p %nSnSn +++ Sn=S 0 *(1+p/100) n S 0 =S n /(1+p/100) n P=100*(S n /S 0 ) 1/n (1+p/100) n =Sn/S 0 +

Примеры на применение сложных процентов

Решение(II способ): через год начальная сумма увеличится на 8% т.е. новая сумма составит 108%, переведем проценты в десятичную дробь 108%=1,08. Таким образом, вклад увеличится в 1,08 раза и составит 5000 *1,08=5400руб. Еще через год образовавшаяся сумма на счете снова увеличится в 1,08 раза, т.е.(5000*1,08)*1,08=5000*1,08 =5832. Еще через год сумма опять увеличится в 1,08 раза и будет составлять (5000*1,08 ) *1,08=5000*1,08 =6298 руб.56 коп. Ответ: 6298 руб. 56 коп. Проанализируем числа: 5000;5000*1,08; 5000*1,08 ;5000*1,08 ;…,т.е. мы имеем последовательность чисел, каждое из которых, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число, т.е. это геометрическая прогрессия, где первый член-это первоначальный взнос (5000 руб. в нашем примере) и знаменатель прогрессии 1,08 (т.е., во сколько раз увеличится вклад за год). Говорят, что вклад растет в геометрической прогрессии.

Пример 2

Формула наращения по сложным процентам, когда ставка меняется во времени В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид где i 1, i 2,..., i k последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2,..., n k соответственно.

Пример : В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. Решение: (1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

Список используемой литературы: 1)Энциклопедия для детей «Математика» Москва, «Авита+», 1998г. 2)Большая Советская энциклопедия. 3) Галицкий М.Л.,. Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9 класс.- Москва «Просвещение», 1995г. 4) Винокуров Е.Ф. Бизнес в три вопроса: издержки? цена? выручка?// Математика в школе. – ) 6)