Выполнил ученик 6в МОУ «СОШ 80 с УИОП» г.Хабаровска Соколов Иван

Геометрические паркеты Паркет (или мозаика) есть бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Требование: "два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек"

Правильные паркеты Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.

Паркет из правильных многоугольников Существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - два варианта паркета; (3,4,4,6) - четыре варианта; (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник). Некоторые варианты паркета : (4,8,8)(3,3,6,6)(4,6,12)(3,4,4,6)

Паркеты из неправильных многоугольников Легко покрыть плоскость параллелограммами. Можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого. Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма Плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». Существуют паркеты из невыпуклых семиугольников.

Паркеты из произвольных фигур Паркетом (расширенное определение) называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае - многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). Не соблюдается требование "два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек"; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.

Способы построения произвольных паркетов 1 способ: берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) - из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков... Паркеты, полученные заменой отрезков "квадратной" сетки некоторыми кривыми или ломаными.

Способы построения произвольных паркетов 2 способ: объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки. Паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников.

Способы построения произвольных паркетов 3 способ:. берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае - накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Перкеты полученные разбиением сетки из греческих крестов.

Способы построения произвольных паркетов 4 способ: выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать... получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом1. Паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников. Для получения этого паркета была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный перенос.

«Животные» паркеты

Художественные паркеты Паркет натуральное деревянное напольное покрытие. Современный паркет многолик от привычного штучного паркета, уложенного строгой палубой, до искусственного заменителя ламинированного паркета (ламината).