Урок к учебнику Л.С. Атанасяна (базовый уровень) Учитель математики Яковлева И.В.

Назовём секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называют сечением.

Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники. Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и шестиугольники.

При построении сечений параллелепипеда следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной грани.

ЗАДАЧА 1. На ребрах АВ, ВD и СD тетраэдра АВСD отмечены точки М, N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP. Е Q Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани АВС. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и ВС до их пересечения в точке Е. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой МЕ. Прямая МЕ пересекает ребро АС в некоторой точке Q. Четырёхугольник MNPQ – искомое сечение.

Если прямые NP и ВС параллельны, то прямая NP параллельна грани АВС, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой МЕ, параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра АС с прямой МЕ.

Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра DАВС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС. Ваши предложения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку АВ, и обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DА и DВ. Затем через точку Р проведем прямую, параллельную отрезку АС, о обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DС. Треугольник PQR - искомый. P Q R

На ребрах параллелепипеда даны три точки А,В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС. Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А,В и С. Рассмотрим некоторые частные случаи. С А В А В С А В С М F E D Е D

На данных рисунках изображено сечение куба плоскостью. В чем ошибка ? Дайте объяснение.

В тетраэдре DABC точка E – середина ребра СD, точка F лежит в плоскости АВС. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через точки Е и F параллельно прямой АD. Ваши предложения. М О Т Через точку Е в плоскости АСD проведём прямую параллельную ребру АD. Прямая пересечёт ребро АС в точке в точке Т. Через точки Т и F, лежащих в нижней грани проведём прямую TF. Она пересечёт ребро АВ в точке М. Через точку М в плоскости АDB проведем прямую параллельную ребру АD. Она пересечёт ребро DB в точке О. Четырёхугольник ЕТМО – искомое сечение.

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. постройте сечение куба, проходящее через точки В1, А и С, и найдите его площадь. А А1 В1 С1 D1 C D B Треугольник АВ1С – равносторонний. АВ1=В1С=АС как диагонали равных граней куба. Площадь равностороннего треугольника удобнее найти так: площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Сторона треугольника равна Следовательно площадь треугольника равна

Домашнее задание: 1) изучить пункт 14 учебника; 2) 81, 82 письменно.

Ресурсы: 1. Геометрия, : учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. кадомцев и др.-М.: Просвещение. 2. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса. –М.: Илекса.