Арифметическая прогрессия. Формула n-ого члена арифметической прогрессии

План лекции: 1. Понятие арифметической прогрессии (различные формулировки определения). 2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. 3. Формула n-ого члена арифметической прогрессии.

I.Понятие арифметической прогрессии (различные формулировки определения)

Задача 1 На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на один час, на два часа, на три часа и т.д.?

Получаем последовательность чисел: 100; 155; 210; 265; 320; …

Прогрессия от латинского progressio означает «движение вперёд»

Определение 1 Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Определение 1* Числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство где d – некоторое число.

Вопрос 1 : Чему из равенства равно число d? Ответ : Число и называется разностью арифметической прогрессии.

Пример 1 Натуральный ряд чисел 1; 2; 3; 4; … ; n; … является арифметической прогрессией. Чему равны первый член и разность d этой прогрессии? Ответ:, d = 1.

Пример 2 Является ли последовательность положительных нечётных чисел 1; 3; 5; 7; … ; 2n+1; … арифметической прогрессией? Чему равны первый член и разность d этой прогрессии? Ответ:, d = 2.

Пример 3 Является ли следующая последова- тельность чисел 2; 3; 5; 8; 12; 17; … арифметической прогрессией? Ответ: нет.

1; 2; 3; 4; … ; n; … 1; 3; 5; 7; … ; 2n+1; …

Определение 2 Возрастающей называется арифметическая прогрессия, у которой каждый следующий член больше предыдущего.

Пример 4 Является ли последовательность отрицательных чётных чисел -2; -4; -6; -8; … ; -2n; … арифметической прогрессией? Чему равны первый член и разность d этой прогрессии? Ответ:, d = – 2.

Пример 5 Является ли последовательность чисел 100; 90; 80; 70; … арифметической прогрессией? Чему равны первый член и разность d этой прогрессии? Ответ:, d = – 10.

-2; -4; -6; -8; … ; -2n; … 100; 90; 80; 70; …

Определение 3 Убывающей называется арифметическая прогрессия, у которой каждый следующий член меньше предыдущего.

Пример 6 Является ли последовательность 4; 4; 4; 4; … ; 4; … арифметической прогрессией? Чему равны первый член и разность d этой прогрессии? Ответ:, d = 0.

Определение 4 Постоянной называется арифметическая прогрессия, у которой каждый следующий член равен предыдущему.

Вывод: 1. Если d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей. 2. Если d

II.Характеристическое свойство арифметической прогресии

: Характеристическое свойство арифметической прогрессии: К аждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифмети- ческому двух соседних с ним членов т.е. n > 1. Последующий член арифметической прогрессии Предыдущий член арифметической прогрессии

: Доказательство : (*) (*) (**) (**)

Пример 7 В арифметической прогрессии. Найдите. Ответ:.

III. Формула n-ого члена арифметической прогрессии

Задача 1* На турбазе можно взять лодку напрокат. Стоимость проката определяется следующим образом: за первый час надо заплатить 100 руб., а за каждый последующий (полный или неполный) – 55 руб. Сколько рублей надо заплатить за лодку, взятую на двое суток?

Закономерность, которой подчиняются члены прогрессии: Количество часов Стоимость проката (в рублях)

Ответ: Плата за 48 часов проката лодки составляет 2685 р.

Пусть последовательность чисел является арифметической прогрессией. Тогда Формула n-ого члена арифметической прогрессии

Пример 8 Найдите сотый член Найдите сотый член арифметической прогрессии 120; 116; 112; 108; …. Ответ: - 276

Пример 9 Число 1249 является членом Число 1249 является членом арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10; 13; 16; …. 1; 4; 7; 10; 13; 16; …. Найдите номер этого члена. Ответ: 417