Учитель математики Учитель математики МБОУ « Тумакская СОШ » МБОУ « Тумакская СОШ » Сундутова К. М. Сундутова К. М.

В основу метода проверки корней тригонометрического уравнения следует положить понятие периода уравнения. Пусть дано, например, уравнение : Легко заметить, что периодом этого уравнения может служить угол 180°. Действительно, cos 4( х +180°)=cos (4 х + 2 *360°) = cos 4 х, sin 2( х +180°)= sin ( 2 х + 360°)= sin 2 х и т. д.

Чтобы найти период тригонометрического уравнения, достаточно найти периоды каждой функции, входящей в это уравнение, а затем отыскать их наименьшее общее кратное. Чтобы найти, пользуясь этим правилом, период вышеприведенного тригонометрического уравнения, надо рассуждать следующим образом : так как период каждой из функций sin 4 х и cos 4 х равен =90°, а период каждой из =90°, а период каждой из функций sin 2 х и cos 2 х есть 360° ̷ 2=180°, то периодом уравнения будет наименьшее общее кратное углов 90° и 180°, то есть 180°

Пример. Решить уравнение : cos 2 х + 3sin х = 2 (1) и проверить найденные корни. Имеем : (1-2sin² х )+3sin х =2, 2sin² х - 3sin х +1=0. Отсюда, sin х 1=1, sin х 2 =1/2 х 1= 360°n +90°, х 2= 180°n+ (-1) 30°

Полученное множество корней бесконечно. Чтобы проверить все корни, достаточно произвести проверку только тех из них, которые лежат в пределах одного периода уравнения. Так как периодом уравнения (1) служит угол в 360°, то проверить нужно лишь корни, которые удовлетворяют неравенству : -180°< х 180°. Если придавать n различные целые значения ( положительные, отрицательные или нуль ), то мы обнаружим лишь три корня, удовлетворяющие этому неравенству, а именно : 90°, 30°, 150°.

После подстановки их в исходное уравнение (1) найдем, что каждый из них обращает это уравнение в верное числовое равенство. Действительно, с os180° + 3sin90°=-1+3 = 2, cos60° + 3sin30°= + = 2, cos 300° + 3sin150°= + =2.

Есть одно затруднение, с которым сталкиваются : иногда общий вид углов, правильно найденный при решении тригонометрического уравнения, не совпадает с общим видом углов, указанным в ответе к задаче. Порой возникает сомнение в правильности своего решения. Рассеять это сомнение можно только посредством доказательства, что множество всех найденных корней и множество всех корней, определяемое общей формулой в ответе задачи, между собой совпадают.

Допустим, что при решении уравнения sin² - cos² = cos получены корни : х 1= 720°n ± 120°, х 2= 360°(2n+1), а ответ задачи дан в другой форме : х = 120°(2n+1).

Для того, чтобы убедиться в равносильности того и другого ответа, найдем сначала период уравнения ( он равен 720°), а затем отыщем в обоих случаях корни, лежащие в пределах этого периода, то есть удовлетворяющие неравенству : -360°< х 360°. -360°< х 360°. Легко убедиться, что такими корнями в обоих случаях будут лишь ± 120° и 360°. Совпадение корней, лежащих в пределах одного периода уравнения, указывает на равносильность обоих ответов.