Дворец творчества детей и молодежи Донская Академия наук Юных Исследователей Секция «Математика» Исследовательская работа на тему: «Неприятности, связанные с учебно-практической деятельностью». Выполнила: ученица 11 Б класса Стеблецова Оксана Валерьевна Руководитель: Олейник Любовь Алексеевна Сальск 2008 г.

Цель исследования: Проанализировать процесс решения уравнений (неравенств) и обосновать цепочку переходов от исходного уравнения (неравенства) к равносильному. Объект исследования: - содержание образования; - процесс практического применения основных преобразований;

Уравнением называется запись f = g, где f и g две функции, заданные на одном и том же множестве А. Множество А называется областью определения уравнения (или ОДЗ). Элемент x, принадлежащий А называется решением (или корнем) уравнения f = g, если f (x) и g(x) одно и то же число.

х Естественная область определения: x – любое число, т.к. имеет смысл и f, и g

Дано уравнение: Упростив, получим:

Разделим числитель и знаменатель левой части на х2, а правой на х : Получим уравнение: сделаем подстановку

откуда и = 0 или и = 1 Вернемся к замене: так как и = 1/х, то 1/x=01/x=1 решений нет x=1

Если х = 1, уравнение не имеет смысла (на 0 делить нельзя!) Если х = 0 0 = 0, верно; x=0 корень уравнения

Приведем к общему знаменателю:

Уравнение (2) является следствием уравнения (1), но они не равносильны, т.к. (3) при возведении в квадрат тоже дает уравнение (2) (1) (2)(2) (3)

Поэтому, решив уравнение (2), полученное при возведении в квадрат, надо еще отобрать среди найденных корней те, которые удовлетворяют уравнению (1), исходному. В нашем случае это сделать совсем просто: решая квадратное, находим: Подстановкой в исходное убеждаемся, что подходит, а нет

Все корни уравнения (2), полученного после возведения в квадрат, это либо корни нашего исходного уравнения, либо корни "постороннего" уравнения (3) (2)(3) (1) Поэтому всякий корень уравнения (1) – неотрицательное число, а всякий корень уравнения (2) – неположительное число. Нам нужен корень исходного уравнения, значит неотрицательное число Ответ.

Уравнение равносильно системе:

Уравнение Б является следствием уравнения А, если все корни уравнения А являются корнями уравнения Б. Уравнения А и Б равносильны, если множества их корней совпадают. следствие уравнения но эти уравнения не равносильны

а) б) в) г)

Применили

Чтобы избежать таких шуток, надо пользоваться равенствами:

ОДЗ: Т.К. в ОДЗ разделим обе части на и прологарифмируем степень в правой части: Перенесем все в левую часть и вынесем за скобки:

Приравнивая к нулю сомножители, получим совокупность уравнений: Ответ:

Проанализируем, какие ошибки возможны при решении: или Применение неверной формулы сузило ОДЗ Приобретен посторонний корень x=4

Если сократить на то произойдет потеря корня Неверный ответ: Если вынести за скобки, то Неверный ответ:

! ВЫВОДЫ ИЗ РЕШЕННОГО ПРИМЕРА: 1) Опасно делить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное (можно потерять корни). 3) При решении уравнений нельзя делать ошибок типа - они могут привести к потере корней (из-за сужения ОДЗ). 2) Если уравнение содержит общий множитель c неизвестным, его следует вынести за скобки и привести уравнение к совокупности двух, равных нулю

Найти точки максимума функции:

Стационарные точки : x= -1, x= 0, x=2 Точек максимума две: x= -1 и x= 2. Но x= -1 не входит в область определения функции( ). Поэтому в ответ выходит x=2.

Множество решений неравенства обычно бесконечно. Проверить все найденные числа трудно, поэтому необходимо избегать переходов к неравносильным неравенствам. !

Е сли Если x-2

Обе части неотрицательны, возведение в квадрат дает неравенство: О бласть определения дает неравенства: Следует такая система:

Неравенство равносильно системе: