Бьемся об заклад, ты почувствовал, что сведений из сказки несколько не хватает для того, чтобы утверждать, что ты отлично знаешь функцию. С чего начать более глубокое знакомство с функцией? Какой план изучения составить? Это твое дело. В помощь тебе мы предлагаем: понаблюдать диалог между профессором и учеником об основных понятиях и свойствах функции;диалог Тематический словарик. Тематический словарик Вернуться на главную страницу Выход из программы

Профессор Знайкин Тимошка Т: - А что такое функция? Расскажи! П: Попробую объяснить…Как узнать, делится ли на натуральное число на 5? Т: Если число кончается нулем или пятеркой, то оно делиться на пять. П: Ну вот, все дело в последней цифре. Обозначим натуральное число буквой х, а его последнюю цифру – буквой у. Теперь, если известно число х, то можно найти число у. Например, если х=12, то чему равно у? Т: Равно двум.

Профессор Знайкин Тимошка П: Значит если тебе известно х, то ты можешь вычислить у. Вместо х можно взять любое натуральное число. Значит х может изменяться. Поэтому х называется переменной. Т: Но если изменяется х, то изменяется и у! Например, если х = 17, то у=7; а если х=1024, то у=4. Значит, у – тоже переменная? П: Молодец, так и есть! Но только значение у зависит от значения х. Поэтому у называют зависимой переменной, а х – независимой переменной. Т: Значит, переменные бывают зависимые и независимые. А в чем разница, не пойму.

Профессор Знайкин ТимошкаП: Разница вот в чем. Значение независимой переменной ты задаешь сам. Например, ты можешь взять х=10. А значение зависимой переменной у ты можешь найти, только зная значение х. Если х=10, то у=0. Т: Ага, у зависит от х. П: Да, каждому значению переменной х соответствует некоторое значение у. В этом случае говорят, что задана функция f и пишут y=f(x). Т: Понятно. П: Если понятно, то скажи, чему равно f(12)? Т: По-моему, двум. П: Да. Теперь ты понял, что такое функция? Т: Чего же тут не понять! Функция – это последняя цифра числа. П: Это только одна из функций. Функций очень много.

Профессор Знайкин Тимошка Т: Какие еще бывают функции? П: Давай вспомним, чему равна площадь квадрата. Т: Давай вспомним! Если сторона квадрата равна а сантиметров, то его площадь равна а 2 сантиметров квадратных. П: Вот видишь, если мы знаем длину квадрата, то можем вычислить его площадь. Т: А можно обозначить длину стороны через х, а площадь квадрата через у? П: Конечно, давай так и сделаем. Тогда у опять есть функция от х. Можно написать у = f(x). А можно написать у = х 2 (где х – сторона квадрата). Эту функцию мы задали с помощью формулы. Способ задания функции с помощью формулы называется аналитическим способом.

Профессор Знайкин Тимошка Т: Значит, можно написать у = х 2, и опять х – независимая переменная, а у – зависимая. П: А какие значения может принимать переменная х? Т: Любые, какие хочешь. П: Ну, а, например, может быть х = -2? Т: Ерунда какая-то! Разве длина квадрата может быть –2? П: Значит, не любые значения может принимать переменная х! Какие же? Т: Наверно, любые, которые больше нуля...

Профессор Знайкин Тимошка П: Ты прав. И вот, множество всех значений, которые может принимать независимая переменная, называется областью определения функции. Область определения функции f(x) обозначается D(f). Здесь D – первая буква английского слова «domain» - «область». Какая же область определения у нашей функции? Т: То есть чему может равняться х? Ну, это множество всех чисел, которые больше нуля. П: Значит, область определения функции есть множество всех положительных чисел. Давай рассмотрим еще множество значений нашей функции.

Профессор Знайкин Тимошка Т: А что такое множество значений? П: Посмотрим, чему может равняться у. Вспомним, что у = х 2 ? Т: Да любому числу! Хотя нет, ведь у больше нуля. Ну ясно, у может равняться любому числу больше нуля. П: Так вот, множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называется множеством значений функции. Множество значений функции обозначается через E(F). Здесь Е – первая буква французского слова «ensemble», что значит множество. Т: Длинное какое название!

Профессор Знайкин Тимошка П: Так вот, множество значений нашей функции у = х 2 – это множество всех положительных чисел. Т: Постой, постой …что же получается множество значений и область определения – одно и тоже. П: Для некоторых функций – одно и тоже. А для других – нет. Вспомним первую функцию у=f(x). Здесь у есть последняя цифра натурального числа х. Какая область определения у этой функции? Т: Ну, это ясно, х может быть любым натуральным числом. Значит, область определения здесь – множество натуральных чисел. П: Давай рассмотрим множество значений этой функции. Какие значения может принимать у? Т: Это же последняя цифра числа. Значит у может равняться 0,1,2 и так далее, до 9. П: Мы видим, что для этой функции множество значений и область определения различны.

Профессор Знайкин ТимошкаТ: Скажи, а как можно задавать еще функцию? П: Можно задавать с помощью таблицы. Например, тренер составил для спортсмена задание. Вот такое: Дни неделиПнВтСрЧтПтСбВс Число приседаний за тренировку По этой таблице, зная день недели, можно найти число приседаний за тренировку. Т: Понял, понял! В понедельник надо присесть 120 раз, во вторник – 120, ну и так далее. П: Верно. А какая у этой функции область определения и какое множество значений? Т: Странно как-то получается…х может равняться понедельнику, вторнику, ну, и так далее до воскресенья. П: Молодец, область определения D(f)={Пн, Вт, Ср, Чт, Пт, Сб, Вс}. А какое множество значений?. Чему может равняться у?

Профессор Знайкин Тимошка Т: Это-то понятно, у может принимать значения 120, 130, 140, 150. Вот это и есть множество значений функции. Е(f)={120, 130, 140, 150} П: Есть еще один способ задания функции. Но прежде поговорим о числовых функциях. Если функция определена на некотором множестве чисел и принимает числовые значения, то такую функцию будем называть числовой функцией. Например, функция у=х 2 (площадь квадрата со стороной х) – числовая функция. Числовую функцию очень удобно задавать с помощью графика. Т: А это еще что такое? П: График функции можно назвать ее портретом. Сейчас мы с тобой и построим ее портрет.

Профессор Знайкин Тимошка П: Построим сначала систем координат х0у. Теперь будем делать так. Берем некоторое значение х из области определения функции, например х, вычисляем у Затем отмечаем на плоскости точку с координатами (х;у), то есть,. Так мы получим точки (1;1), (1,5;2,25), (2,4), и т.д. Отметим все эти точки на плоскости. Т: Сколько же точек надо нанести на плоскость? П: Надо бы нанести все точки (х;у), где у=f(х), а х пробегает всю область определения. Т: Разве это можно сделать? Ведь этих точек бесконечно много! П: Конечно, невозможно! Но давай отметим побольше точек и соединим их плавной кривой.

Профессор Знайкин Тимошка П: Вот эта кривая и будет изображать график функции у=f(х). Т: А что же называется графиком? у= х 2 (х 0) х у П: Графиком числовой функции f называется множество точек плоскости (х;у), где х принимает всевозможные значения из области определения функции, а у=f(х).

Профессор Знайкин Тимошка Т: Давай построим график нашей первой функции у=f(х), где у – последняя цифра натурального числа х. П: Давай построим. Отметим на плоскости точки: (1;1), (2;2),…,(11;1), (12;2) и т.д. Т: Теперь их надо соединить плавной чертой? П: Видишь ли, здесь независимая переменная х может равняться только числам 0, 1, 2, 3,…, и не принимает никаких других значений. Поэтому график состоит из отдельных точек, не образующих никакой кривой.

Профессор Знайкин Тимошка Т: Смотри, как интересно получается! Значения функции повторяются через каждые десять значений. П: В самом деле получатся так, что у(х+10)=у(х) для для всех х. Эта функция – пример периодической функции. Т: А что такое периодическая функция? П: Пусть f(x) – числовая функция и Т – некоторое число. Если для каждого х из области определения функции числа х Т также принадлежит области определения, и f(x T)=f(x), то функция f(x) называется периодической; число Т называется ее периодом.

Профессор Знайкин Тимошка Т: Ясно. Наша функция f(х) – периодическая, и ее период Т равен 10. П: Понятно, что график периодической функции состоит из повторяющихся частей, сдвинутых по оси Ох на величину периода Т. Т: А что еще можно узнать о функции? П: Скажи при каких значениях х значение функции равно нулю? Т: Это будет х=10 и х=20, и еще х=30и так далее.

Профессор Знайкин Тимошка П: Где на графике расположена точка х=10? Т: Точка лежит на оси 0х. Значит при х=10 значение функции равно 0. П: Молодец! Такие значения тоже имеют свое название. Они называются нулями функции. Обрати внимание: когда мы работаем с функцией, всегда надо знать ее область определения. Полезно бывает еще найти нули функции. Т: Нули? Их что, много? Я думал, что нуль только один. П: Число нуль, конечно, только одно. Но здесь речь о нулях функции. Рассмотрим функцию у = х – 2. Как найти значения х, при которых у = 0.

Профессор Знайкин Тимошка Т: Надо решить уравнение х – 2=0; х=2. Ответ: f(х)=0 при х = 2 П: Это-то значение х=2 называют нулем функции f(х). Вообще, если значение х = а принадлежит области определения функции f(х) и f(a) = 0, то а называется нулем функции f(x). П: Да, нули функции позволяют найти точки пересечения графика функции с осью Ох. Это весьма полезно при построении графика. Т: А как искать точки пересечения графика с осью 0у? П: Подумай. Т: Так, если точка графика лежит на оси 0у, то абсцисса этой точки равна нулю, то есть х = 0. Но тогда у= f(0). Значит, на оси 0у расположена точка графика (0;f(0)).

Профессор Знайкин Тимошка П: Ну вот и все. Мы пока прервем наш разговор о свойствах функции, хотя многое из этой темы мы еще даже не затронули. Я думаю мы еще встретимся, может быть в следующем классе. А сейчас давай пожелаем что- нибудь нашим читателям. Т: Конечно, пожелаем. Прежде всего спасибо, что дочитали наш диалог. Мы будем рады если чем-то помогли вам. Раньше я сам считал, что изучение функции очень скучное занятие, но когда повнимательнее разобрался, это даже очень интересно. Спасибо и вам профессор. П: Пожалуйста! Ну что ж до скорых встреч. А если ты еще что-то не понял, спроси у своего учителя, и он тебе обязательно объяснит. Вернуться на главную страницу Выход из программы