Элективный курс «Решение задач с параметром» Авторы : учителя математики ГБОУ СОШ 2 с углубленным изучением отдельных предметов г. о. Кинель Авторы : учителя математики ГБОУ СОШ 2 с углубленным изучением отдельных предметов г. о. Кинель Фролова Елена Юрьевна, Зенина Ольга Петровна, Демонстрационный материал 1 по теме:

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С ПАРАМЕТРОМ Уравнения (неравенства), в которых некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквенными выражениями, называются уравнениями (неравенствами) с параметром. Решить уравнение (неравенство) с параметром означает следующее: исследовать, при каких значениях параметра уравнение (неравенство) имеет решения и сколько их в зависимости от значений параметра; найти все решения и указать для каждого из них значения параметра. Решить уравнение (неравенство) с параметром означает следующее: исследовать, при каких значениях параметра уравнение (неравенство) имеет решения и сколько их в зависимости от значений параметра; найти все решения и указать для каждого из них значения параметра. Элективный курс «Решение задач с параметром» Описание многих физических процессов и геометрических закономерностей проводится с помощью уравнений и неравенств с параметром.

аналитический функциональный функционально - графический Способы решения уравнений и неравенств Способы решения уравнений и неравенств Элективный курс «Решение задач с параметром» 11 класс изучение роли функционально-графического метода при решении уравнений и неравенств с параметром изучение роли функционально-графического метода при решении уравнений и неравенств с параметром Цель занятия:

«… 10 из 100 математиков мыслят формулами… Но остальные мыслят образами; их интуиция геометрическая. Картинки несут гораздо больше информации, чем слова. В течение многих лет школьников отучали пользоваться картинками, потому что "они не строгие"… Да, они не строгие, но они помогают думать, а такого рода помощью никогда не следует пренебрегать» Ян Стюарт ПРЕИМУЩЕСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКОГО СПОСОБА: ПРЕИМУЩЕСТВА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКОГО СПОСОБА: подсказка на более рациональный аналитический метод решения отсутствие сложных и громоздких вычислений экономия времени Элективный курс «Решение задач с параметром» 11 класс

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ в задачах, которые нельзя решить другими способами в уравнениях - математических моделях других задач в уравнениях - математических моделях других задач при обосновании классических методов решения неравенств в задачах, в которых он наиболее рационален в задачах, в которых он наиболее рационален Элективный курс «Решение задач с параметром»

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРОМ План решения задач с параметром графическим методом Соответствующее множество на плоскости Формулировка ответа на вопрос задачи Условие задачи Построение графика функции, графика уравнения Чтение графика Элективный курс «Решение задач с параметром»

Решение задач с параметром Решение задач с параметром в координатной плоскости (хОу) в координатной плоскости (хОу) в координатной плоскости (хО а ) в координатной плоскости (хО а ) 1. Строим график функции у=f(х;а), задающий семейство кривых, зависящих от параметра а. 2. Определяем преобразование, позволяющее перейти от одной кривой семейства к другой. 3. Читаем график и находим необходимый графический образ. 1. Строим график функции у=f(х;а), задающий семейство кривых, зависящих от параметра а. 2. Определяем преобразование, позволяющее перейти от одной кривой семейства к другой. 3. Читаем график и находим необходимый графический образ. 1.Записываем уравнение F(x;a) = 0Записываем уравнение F(x;a) = 0 в виде а = f (x) и строим график этой функции. 2. Находим точки пересечения графика функции a = f(x) с прямыми вида a = a 0, параллельными оси Ох. 3. Выбираем абсциссы точек пересечения, определяющие решения в соответствии с условием задачи. 1.ЗЗаписываем уравнение F(x;a) = 0 в виде а = f (x) и строим график этой функции. 2. Находим точки пересечения графика функции a = f(x) с прямыми вида a = a 0, параллельными оси Ох. 3. Выбираем абсциссы точек пересечения, определяющие решения в соответствии с условием задачи. Структура решения задач с параметром ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Элективный курс «Решение задач с параметром»

2. у=2|х|(2-х), х 0). y y=a x Уравнение имеет единственное решение при а >2 lg b >2 b >100. Решение. Ответ: b>100. lg (2|х|(2-х)) =lg а Элективный курс «Решение задач с параметром» 3. у = а, а >0 – прямая, параллельная оси Ох.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ (хОа) 1. ( а +4х-х 2 -1)( а +1-|х- 2|)=0 а = -1 x 1 a=|x-2|-1 2 a=x 2 -4х+1 3 Пример 2. При каких значениях а уравнение ( а +4х-х 2 -1)( а +1-|х-2|)=0 имеет три корня? Решение. Ответ: при а = – При а = – 1 данное уравнение имеет три корня. 2. График этой совокупности – объединение «уголка» и параболы. a а=а 0 – прямая, параллельная оси Ох. Элективный курс «Решение задач с параметром»

Пример 3. Найдите все значения параметра k, при которых система уравнений имеет решения. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ (хОу) 4. Система уравнений имеет решение, если D=0 при 3. k 1, k 2 – угловые коэффициенты прямых МN и МК, значит, k 1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ (хОу) 3. График уравнения x 2 +y 2 =1 – единичная окружность с центром в начале координат. 4. Cистема имеет по четыре решения при а = 1 Пример 4. Сколько решений имеет система в зависимости от значений параметра a ? x a -a-a a -a-a -- Решение. Ответ: если а, то нет решений; если а = 1 или а = - четыре решения; если 1 < а < - восемь решений. y 1. При a 0 решений нет. 2. При а >0 график первого уравнения - гомотетичные квадраты с вершинами (а; 0 ), ( 0 ;-а), (-а; 0 ), ( 0 ;а) и центром гомотетии в начале координат. Элективный курс «Решение задач с параметром» при 1< а < - восемь решений, при а система решений не имеет. и а =, 1

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ (хОа) Пример 5. При каких значениях а уравнение имеет два корня? 3. а=а 0 – прямая, параллельная оси Ох. Решение. 1 a x a=x 2 -х 0 а=a 0 Ответ: при График уравнения a = х 2 -х – парабола, ветви которой направлены вверх. 4. При уравнение имеет два корня. Элективный курс «Решение задач с параметром» координаты вершины параболы.

Элективный курс «Решение задач с параметром» Элективный курс «Решение задач с параметром» ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ПОВОРОТПОВОРОТГОМОТЕТИЯГОМОТЕТИЯ

нахождение решения для любого значения параметра или значений из указанного множества; нахождение решения для любого значения параметра или значений из указанного множества; нахождение количества решений в зависимости от значений параметра; нахождение количества решений в зависимости от значений параметра; определение всех значений параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям. определение всех значений параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям. Систематизация задач по типу ограничений, накладываемых на параметр определение всех значений параметра, при указанном количестве решений; определение всех значений параметра, при указанном количестве решений; Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах. Г. Цейтен Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах. Г. Цейтен Элективный курс «Решение задач с параметром»

Зенина Ольга Петровна, Фролова Елена Юрьевна Элективный курс «Решение задач с параметром»