Занятие 1. Матрицы Виды матриц Действия над ними

Немного истории Ценность научного творчества безгранична. Для общего прогресса человечества наиболее ценным является творчество, устанавливающее новые пути, по которым идут исследователи. К числу учёных новаторов принадлежит гениальный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Основная черта научных работ Гаусса – это их исключительная разносторонность. Гаусс также считался одним из создателей неэвклидовой геометрии.

Он занимался высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциальной геометрией, теорией вероятности, теорией электричества и магнетизма, вопросами капиллярности, геодезией и астрономией. Во всех этих областях Гаусс сделал оригинальные открытия. Габриель Крамер – швейцарский математик. Установив и опубликовав в 1705 году правило решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами, он внёс значительный вклад в развитие алгебры.

М атрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Обозначения:

Виды матриц Нулевая матрица 0 =

Матрица, противоположная матрице А -А = Трапециевидная (ступенчатая) матрица

Матрица-строка: Матрица-столбец: Верхняя треугольная матрица:

Нижняя треугольная матрица Диагональная матрица

Единичная матрица Е = Если все действительные, то матрица А называется действительной; если хотя бы одно из чисел комплексное, то матрица называется комплексной.

Действия над матрицами Суммой матриц А = ( ) и В = ( ) одинаковых размеров называется матрица С = ( ) тех размеров, у которой = +, для любых i, j. C = A + B

Свойства сложения матриц: A +B = B + A (A +B) +C = A + (B + C) A + 0 = A A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

Пример 1: Найти сумму матриц: С = А + В А = В = С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, нужно к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В. А – В = А + (-В) Найти разность матриц А – В А = В = Решение: С = А – В

А = - В = С =

Произведением матрицы А = (a ij ) на число k называется матрица С = ( c ij ) тех же размеров, у которой c ij = k · a ij для любых i,j. C = k · A Пример 3: Дана матрица А = Тогда 2А =

Свойства умножения матрицы на число: 1) 2)2) 3) 4) для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β R

Произведением матрицы А = ( ) размеров mхn на матрицу В = ( ) размеров nхp называется матрица С = (c ij ) размеров mхp, = a i1 b 1j + a i2 b 2 j + … + a in b n j. C = AB Свойства умножения матриц: AE = EA = A A0 = 0A = 0 (AB)D = A(BD) (A + B)D = AD + BD D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл). Для квадратных матриц АВВА

Даны матрицы: А = и В = С = АВ С = С =

Транспонирование матриц. А= А т = – транспонированная матрица.

Свойства транспонирования

Обратная матрица. Матрица называется обратной для матрицы А, если A = A = E

Aij – алгебраические дополнения элементов a ij матрицы А. Свойства обратной матрицы:

Ранг матрицы Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля её миноров. Обозначение: rank A

Занятие 3. Определители Миноры Алгебраические дополнения

Определители Обозначение: (детерминант). Они существуют у квадратных матриц. Определение 1. Определителем второго порядка называется выражение

Определителем третьего порядка называется выражение

Способы вычисления определителя третьего порядка = где - элементы определителя, - миноры элементов а 1, b 1, c 1

Минором М ij какого – либо элемента a ij определителя порядка n называется определитель порядка n – 1, полученный из вычерчиванием i– й строки и j – го столбца. Это первый способ.

Второй способ. Определитель III порядка можно найти по схеме: + -

Третий способ =

Алгебраическое дополнение Алгебраическим дополнением элемента а ij определителя называется определитель, где М y – минор элемента a ij. Для нахождения определителя III порядка можно использовать две теоремы.

Теорема 1.Определитель равен сумме произведений элементов какой – либо строки на их алгебраические дополнения

Теорема 2. Определитель равен сумме произведений элементов какого – либо столбца на их алгебраические допол- нения.

Пример 5: Найти определитель:

Определителем четвёртого порядка называется выражение где A 1, B 1, C 1, D 1 - алгебраические дополнения элементов a 1, b 1, c 1, d 1.

Занятие 5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных. Пусть задана система:

1. Составим расширенную матрицу. 2. С помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу приведём к треугольному (ступенчатому) виду. 3. Вернувшись к системе уравнений, находим неизвестные. Элементарными преобразованиями матрицы называют: Умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число. Прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой её строки (столбца), умножение на любое число, отличное от нуля. Перестановку местами любых двух строк.

Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Составим расширенную матрицу и приведём её к треугольному виду с помощью элементарных преобразований.

Получаем: Вернёмся к системе уравнений Ответ: х 1 =1; х 2 =2; х 3 =-2

Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений. При этом система будет несовместной, т.е. не иметь решения, если после преобразований мы получим уравнение, в котором коэффициенты при всех неизвестных равны нулю, а свободный член отличен от нуля. Пример 7. Решить систему:

Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

Получаем: Мы видим, что последнее уравнение будет 0 = 2. Значит, заданная система будет несовместной, т.е. не иметь решения. Совместная система будет неопределённой, (то есть иметь решений больше, чем одно), если после преоб- разований матрица приводится к трапе- циевидному виду.

Пример 8. Решить систему: Решение: Составим расширенную матрицу и преобразуем её.

Получаем: Вернёмся к системе уравнений.

В итоге имеем:

Рассмотрим случай, когда заданная система состоит из линейных однородных уравнений, то есть уравнений, свободные члены которых равны нулю. Такая система всегда совместна, так как обладает нулевым решением (0; 0; …; 0). Если в системе линейных однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то эта система обладает, помимо нулевого решения, также и ненулевыми решениями. Таких решений будет бесконечно много. Пример 9. решить систему:

Решение: Эта система однородных уравнений; причём число уравнений меньше числа неизвестных (3

Вернёмся к системе уравнений: Как мы видим, с помощью метода Гаусса можно решить любую систему, содержащую любое число линейных уравнений с любым числом неизвестных. Это один из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений.

Занятие 7 Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть дана система: Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных

Найдём определитель det A= Правило Крамера. Если m=n и det A0, то система совместна и имеет единственное решение где det A i – определитель, полученный из det A заменой i-ого столбца столбцом свободных членов.

Решение системы линейных уравнений : Находим определитель системы. Вычисляем определители х 1, x 2, … Возможны три случая: Если 0, то система имеет единственное решение: Если =0, но хотя бы один из определителей х i не равен нулю, то система не имеет решений. Если =0, х 1 =0, х 2 =0, …, х n=0, то система имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему: Решение:

Пример 2. Решить систему: Решение:

Находим: х 1, х 2, х 3.

Применяем формулы Крамера: х 1=1 ; х 2 =2; х 3 =-2

Занятие 9 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Дана система: Матричная запись системы линейных уравнений имеет вид: АХ=В Отсюда: Х=, где матрица, обратная матрице А.

Пример 12. Решить с помощью обратной матрицы систему уравнений : Решение: Находим определитель Если = 0, то система не имела бы решения.

Вычислим алгебраические дополнения для элементов каждой строки.

Составляем обратную матрицу: Отсюда: