Классная работа. Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми Урок подготовила учитель высшей категории, к.ф.-м.н. Уадилова А.Д.

Цель урока: отработать применение тео- ретических знаний к решению задач, связанных с нахож- дением расстояния и угла между скрещивающимися пря- мыми (как устных, так и задач повышенной сложности).

Основные понятия урока Скрещивающиеся прямые Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между скрещивающимися прямыми

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ: ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ: если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принад- лежащей первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется длина их общего перпендикуляра. a b A B

A B α α β ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ НАХОЖДЕНИЯ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ a и b а) «Расстояние между параллельными плоскостями» a b

B A α б) «Расстояние от проекции до проекции» 1)Построим BC || a, где C = (BC) b 2)Построим (CD) || (AB), где D = (CD) a 3)Тогда ABCD – прямоугольник и AB – общий перпенди- куляр к a и b: | AB | = ρ ( a; b) a b1b1 b C D

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ: За величину угла между двумя скрещивающимися прямыми a и b принимается величина угла между параллельными им пересекающимися в некоторой точке M прямыми a 1 и b 1, то есть За величину угла между двумя скрещивающимися прямыми a и b принимается величина угла между параллельными им пересекающимися в некоторой точке M прямыми a 1 и b 1, то есть где a 1 | | a и b 1 | | b, a 1 b 1 = {M} где a 1 | | a и b 1 | | b, a 1 b 1 = {M} a b M a1a1a1a1 b1b1b1b1

Нахождение угла с использованием проекций Таким образом, взяв на прямой b отрезок длины x и найдя длину y его проекции на плоскость, получим b a b1b1b1b1

устно: 1. Найдите ( (AB); (C 1 D) ) и ρ ( (AB); (C 1 D) ) ρ ( (AB); (C 1 D) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

устно: 2. Найдите ( (A 1 B); (C 1 D) ) и ρ ( (A 1 B); (C 1 D) ) ρ ( (A 1 B); (C 1 D) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O

устно: 3. Найдите ( (AA 1 ); (CB 1 ) ) и ρ ( (AA 1 ); (CB 1 ) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

4. Найдите ρ ( (CD 1 ); (DB 1 ) ) и ( (CD 1 ); (DB 1 ) ) ( (CD 1 ); (DB 1 ) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O K

устно: 5. Найдите ( (AD); (PO) ) и ρ ( (AD); (PO) ) B A C D P O K

устно: 6. Найдите ( (BD); (PC) ) и ρ ( (BD); (PC) ) ρ ( (BD); (PC) ) B A C D P O H н а к л о н н а я п р о е к ц и я

устно: 7. Найдите ( (AA 1 ); (DB 1 ) ) и ρ ( (AA 1 ); (DB 1 ) ) ρ ( (AA 1 ); (DB 1 ) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O

устно: 8. Найдите ( (D 1 P); (AD) ) и ρ ( (D 1 P); (AD) ), если | DP | = | PC | = 1 B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 P H

M устно: 9. Найдите ( (AC); (PK) ) и ρ ( (AC); (PK) ), если | BK | = | KO | = 1 B A C P O K H н а к л о н н а я п р о е к ц и я N

10. Найдите ( (MO 1 ); (DB) ) и ρ ( (MO 1 ); (DB) ), если | AM | = | MO | B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O1O1 O M н а к л о н н а я п р о е к ц и я H

O 1 O 11. Найдите ( (A 1 D); (D 1 C) ) и ρ ( (A 1 D); (D 1 C) ) B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1

12. Найдите расстояние между апофемой и скрещивающейся с ней стороной основания правильного тетраэдра. C1C1 B1B1 A O A1A1 P H K C B E

M K 13. Найти расстояние между скрещивающимися высотами граней правильного тетраэдра с ребром a. C1C1 B A C A1A1 P Первый вариант расположения скрещивающихся высот граней B1B1 O P OK H

13. Найдите расстояние между скрещивающимися высотами граней правильного тетраэдра с ребром a. C1C1 B A C A1A1 P O1O1 Второй вариант расположения скрещивающихся высот граней B1B1 D O D O1O1 K H K

5.062 (Потоскуев Е.В.). Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно a. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник ACM, если точка M принадлежит прямой B 1 D 1 ? (Потоскуев Е.В.). Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно a. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник ACM, если точка M принадлежит прямой B 1 D 1 ? B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O M Задачи на исследование

5.063 (Потоскуев Е.В.). Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно a. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник BDT, если точка T принадлежит прямой A 1 C? Найдите эту площадь (Потоскуев Е.В.). Ребро куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равно a. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник BDT, если точка T принадлежит прямой A 1 C? Найдите эту площадь. B A C D A1A1 B1B1 C 1 D1D1 O T Задачи на исследование

14. Концы отрезка [АВ] лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус оснований цилиндра равен r, его высота равна h, а расстояние между прямой (АВ) и осью цилиндра равно d. Найдите d, если h = 6, r = 5, | АВ | = 10. O1O1O1O1 A A1A1A1A1 B B1B1B1B1 D O Задачи на исследование

Решение задачи с цилиндром (основные моменты) 1.Проведем образующие (АА 1 ) и (ВВ 1 ), построим плоскость (А 1 ВВ 1 ). 2.Т.к. образующие параллельны оси цилиндра (ОО 1 ), то (ОО 1 )(А 1 ВВ 1 ) по признаку параллельности прямой и плоскости. (А 1 ВВ 1 ) и (ОО 1 ) перпендикулярны основаниям цилиндра. Причем A 1 B = 8. 3.Из точки О проведем (OD) (А 1 В). [OD] – общий перпендикуляр к плоскости (А 1 ВВ 1 ) и оси (ОО 1 ). 4.Далее решая равнобедренный треугольник ОА 1 В, получим |OD| = 3.

O1O1O1O1 A A1A1A1A1 B B1B1B1B1 D O Задачи на исследование Постройте общий перпендикуляр прямой (АВ) и осью цилиндра.

устно: 15. В прямой призме в основании лежит разносторонний треугольник со сторонами a, b, c. Найдите расстояние между боковым ребром призмы и скрещивающимся с ним ребром основания длины c.

устно: 16. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми (AD 1 ) и (CE 1 ), где D 1, E 1 – соответственно середины ребер A 1 C 1 и B 1 C 1.

устно: 17. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми (AB) и (CA 1 ).

устно: 18. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми (AA 1 ) и (CF 1 ).

устно: 19. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми (AB) и (FE 1 ).

устно: 20. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми (AB 1 ) и (BC 1 ).

Задачи на исследование В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной a, а боковые ребра (MA) и (MB) также равны a, боковые ребра (MC) и (MD) имеют длину b. На грани (MCD) как на основании во внешнюю сторону построена треугольная пирамида NMCD, боковые ребра которой имеют длину a. Найдите расстояние между прямыми (AD) и (NM).

Домашнее задание: из задачника Е. В. Потоскуева, Л. И. Звавича 3.096, – 3.123, 5.059(г) , – 3.123, 5.059(г).

Подводим итоги

1. При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми проще использовать частные случаи нахождения расстояния: Если нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми a и b, то строим плоскость α, перпендикулярную прямой а, прямую b проектируем ортогонально на эту плоскость и ищем расстояние от проекции прямой а на плоскости α до проекции прямой b. 2.Расстояние между диагональю куба (с ребром a) и скрещивающейся с ней диагональю грани равно 3.Расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных диагоналей куба (с ребром a) равно 4.Расстояние между скрещивающимися высотами граней правильного тетраэдра измеряется двумя величинами:

С п а с и б о з а р а б о т у !