Достаточный признак возрастания функции. Если f '( х )>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на этом интервале. Достаточный признак убывания функции. Если f '( х )

Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Важную роль при исследовании функций играют критические точки, поскольку только они могут быть точками экстремума.

Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ', то она равна нулю : f ' ( х 0 )=0.

Если непрерывная функция y=f( х ) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х 0 и при переходе через нее ( слева направо ) производная f '( х ) меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума ; с минуса на плюс – х 0 точка минимума.

Функция у =f (х) определена на промежутке (-4; 13).График производной у = f '(x) изображен на рисунке. 1) Найдите число критических точек функции у = f (x). Решение: График производной функции пересекает ось абсцисс в двух точках т.е. производная в абсциссах этих точек равна 0. Производная меняет знак с плюса на минус в точке х =8, следовательно, эта точка – точка максимума. Ответ: 1. Решение: т.к. в критических точках производная равна нулю или не существует, а данная функция дифференцируема на всей области определения, то найдем абсциссы точек пересечения графика производной c осью ОХ: х =-2; х = 8. Ответ: 2. 2)Укажите число точек максимума функции у = f (х).

4) Найдите длину промежутка возрастания функции. 3)Найдите число промежутков убывания. Решение: т.к. f (x) < 0 на промежутках (-4; -2) и (8;13), то функция убывает на промежутках (-4; -2] и [8;13). Следовательно, 2 промежутка убывания. Ответ: 2. Решение: т.к. f (x) > 0 на промежутке (-2;8), то функция возрастает на отрезке [ -2; 8], тогда длина промежутка возрастания равна 10. Ответ: 10.

В 8. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), определенной на интервале (-9;8). 1. В какой точке отрезка [-8;-4] функция f(x) принимает наименьшее значение ? 2. В какой точке отрезка [0;6] функция f(x) принимает наибольшее значение ? 3. Найдите промежутки возрастания функции. В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. 4. Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

5) Найдите число точек экстремума разностей функций у = f (х) и у = 5х - 6, используя график производной у = f ' (x) (на рис.1) Рисунок 1.

Решение: Найдем точки экстремума функции g (x) = f (x)-5x+6. Поскольку производная g (x) = f (x) – 5 существует при всех х из (-8;13),то в точке экстремума хо выполняется g(xо) =0. График функции g(x) =f (x) – 5 получается из графика функции у = f (x) параллельным переносом вдоль оси у на 5 единиц вниз и пересекает ось абсцисс в двух точках: х=2,х=6 (рис.2).Производная в этих точках g (x) =f (x) – 5 равна нулю и при переходе через каждую из них меняет знак. Следовательно, в этих двух точках функция g (x) имеет экстремумы. Ответ:2 Рисунок 2.