Введение в комбинаторику и теорию вероятностей. 1) КомбинаторикаКомбинаторика 2) ФакториалФакториал 3) ПерестановкиПерестановки 4) РазмещенияРазмещения 5) СочетанияСочетания 6) Частота и вероятностьЧастота и вероятность 7) Сложение вероятностейСложение вероятностей 8) Умножение вероятностейУмножение вероятностей

Комбинаторика. «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать». Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую цифру не более одного раза? дерево вариантов

Квадратные числа

Треугольные числа

Прямоугольные и непрямоугольные числа.

Факториал. Таблица факториалов: n n! Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n!

Перестановки. Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: P n = n!

Пример 1. Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Решение: P 8 = 8! =

Пример 2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные? Решение: Р 4 – Р 3 = 4! – 3! = 18.

Пример 3. Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке? Решение:

Размещения. Определение. Размещением из n элементов, называют конечного множества по k, где упорядоченное множество, состоящее из k элементов.

Пример 1. Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? Решение:

Пример 2. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля? Решение:

Пример 3. Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3? Решение:

Сочетания. Определение. Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k. (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

Треугольник Паскаля … …

столбцы строки … …… Треугольник Паскаля

…

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в котором 20 человек? Решение:

Пример 2. Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета? Решение:

Пример 3. Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать? Решение :

Частота и вероятность. Определение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний., где m – число испытаний с благоприятным исходом, n – число всех испытаний. Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание было проведено фактически.

Частота и вероятность. Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов.. Нахождение вероятности не требует, чтобы испытание проводилось в действительности.

Пример 1. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) синим; в) жёлтым? Решение: а) б) в)

Пример 2. Коля и Миша бросают два игральных кубика. Они договорились, что если при бросании кубиков в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Коля, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Миша. Справедлива ли эта игра?

Решение:

Пример 3. Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта? Решение :

Сложение вероятностей.

D и E называются несовместными событиями.

Сложение вероятностей. Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Пример 1. В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара. Решение :

Пример 2. В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятность того, что из 6 наугад отобранных деталей окажется не более одной нестандартной. Решение : - всего событий Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные, событие В – среди 6 отобранных деталей одна нестандартная.

- благоприятные события для А - благоприятные события для В

Умножение вероятностей. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1. Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза. Решение :

Пример 2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия равна 0,7. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждое орудие сделало по одному выстрелу. Решение : событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В – попадание в цель 2-го орудия.

событие - промах 1-го орудия событие - промах 2-го орудия события инезависимые события А ипротивоположные