Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Открытый урок по дисциплине «Математика» Специальность «Организация перевозок и управление на транспорте», 1 курс Преподаватель Шкандратова Н.А.

Усвоить понятия «перпендикуляр, наклонная и её проекция на плоскость»; доказать теорему о трех перпендикулярах, использовать ее при решении задач. Развивать логическое и пространственное мышление (умение анализировать, сравнивать, доказывать, делать выводы). Воспитывать уважительное отношение к мнению окружающих, ответственность и доброжелательность. Цель:

Дано: Правильный параллелепипед. Укажите на рисунке возможные случаи расположения : 1. Прямых в пространстве; 2. Прямой и плоскости в пространстве; 3. Укажите прямые, перпендикулярные плоскости АА 1 В 1 В. 4. Укажите плоскости, перпендикулярные ребру ВС. 5. АВСД – плоскость проекций. Укажите ортогональную проекцию точек А 1,С 1, отрезков А 1 С 1, Д 1 С 1 на эту плоскость; 6. ДД 1 С 1 С – плоскость проекций. Укажите ортогональную проекцию точек В, А 1,С 1, отрезков АВ, А 1 В 1, А 1 С 1 на эту плоскость.

Тест ВопросответВерный ответ 1 Параллельной проекцией 3-х точек могут быть 1)Одна точка; 2)Две точки; 3) Три точки 1,2,3 2 Параллельной проекцией двух параллельных прямых могут быть 1)Две параллельные прямые; 2)Одна прямая; 3)Две скрещивающиеся прямые; 4)Две точки 1,2,4 3 Величина угла между прямыми заключена в границах 1) 0 0α ) 0°α 360° 3)0°α 90° 3 4 Если прямая а, а β. Как расположены плоскости α и β ? 1)α β 2)α II β 3)Пересекаются под произвольным углом 2 5 Если прямая а II в, а, то как расположены прямая в и плоскость ? 1)в α 2)в II α 3)Пересекаются под произвольным углом 1

Перпендикуляр и наклонные к плоскости α АН – АМ – MH – Точка М - Точка Н - Опр. Расстоянием от точки до плоскости называется…

Свойства перпендикуляра и наклонных α 1.АВ АО 2.ОВ=ОС АВ АС 3.ОВ>ОС АВ АС АВ 2 =

На предметах классной обстановки пояснить, как найти: Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости А В С D β α AB=CD α||β

α Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до плоскости. А С а В D a||α а

a bb β Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой. А В АВ β a||β a и b скрещивающиеся

Задача: Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. На плоскости проведена прямая m. Указать расстояние от концов перпендикуляра АВ до прямой m. m А В

С А В a Дано: АС ; С АВ - наклонная ВС - проекция a a ВС Доказать: a АВ Теорема о трех перпендикулярах Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и к самой наклонной

С А В a Доказательство : 1. Проведем плоскость AВС. 2. АС, a a АС a ВС – по условию 3. АС AВС ВС АВС; АС ВС a АВС 4. АВ АВС a АВС a АВ

Применение полученных знаний при решении задач

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам Задача1. ABCD – квадрат BE ABCD A b a C B D E

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам Задача2. ABCD – квадрат BE ABCD A b a C B D E

Установить взаимное положение прямых а и в по готовым чертежам Задача 3. ABCD – ромб BE ABCD A D E C b B a O

Задача 4 Дано: А =30, АВС= 60. ВД (АВС) Доказать: СД АС. А В Д С 30 ˚ 60 ˚ Доказательство

Задача 5. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5см, ВС = 6см, АД = 12 см. Найдите расстояние от концов отрезка АВ до прямой ВС. D А В С Решение

Задача 6. Через вершину D прямоугольника ABCD проведена прямая DК,перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что АК = 6см, ВК = 9см, СК = 7см. Найдите расстояние от точки К до плоскости прямоугольника. Решение

Решить самостоятельно Вариант2 А Вариант 1 В С D Дано: ΔАВС, А = 90 В = 30, ВС =16 см, DC = 6 cм. Найти расстояние от точки D до катета АВ. А В К С Дано: ΔАВС, В = 90, А = 30 АС =6 см, C = 4 cм. Найти расстояние от точки К до катета АВ. 6см 4см 6см 16см Решение:

Задача (дополнительно). Катеты прямоугольного треугольника равны 18см и 32 см. Из точки D, делящей гипотенузу пополам, проведен к плоскости треугольника перпендикуляр DЕ = 12см. Найти расстояние от точки Е до каждого катета. Е Дано: Найти: Решение Ответ:

Домашняя работа Л.С. Атанасян. Геометрия § 2, стр Задача. Катеты прямоугольного треугольника равны15см и 20см. Из вершины прямого С проведен отрезок СD, перпендикулярный плоскости этого треугольника; CD = 35см. Найти расстояние от его концов до большей стороны.