Словесный способ задания функции - Основные понятия - Функция Дирихле - Примеры Исполнитель: Останина Евгения, 9 Б

Различные способы задания функции Аналитический, графический, табличный – наиболее простые, а потому наиболее популярные способы задания функции, для наших нужд этих способов вполне достаточно. Аналитическийграфическийтабличный На самом деле в математике имеется довольно много различных способов задания функции и один из них – словесный, который используется в весьма своеобразных ситуациях.

Словесный способ задания функции Функция может быть задана и словесно, т. е. описательно. Например, так называемая функция Дирихле задается следующим образом: функция у равна 0 для всех рациональных и 1 для всех иррациональных значений аргумента х. Такая функция не может быть задана таблицей, так как она определяется на всей числовой оси и множество значений ее аргумента бесконечно. Графически данная функция также не может быть задана. Аналитическое выражение для этой функции было, все же найдено, но оно так сложно, что не имеет практического значения. Словесный же способ дает краткое и ясное ее определение.

Пример 1 Функция y = f (x) задана на множестве всех неотрицательных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х 0 ставится в соответствии первый знак после запятой в десятичной записи числа x. Если, скажем, х = 2,534, то f(х) = 5 (первый знак после запятой – цифра 5); если х = 13,002, то f(х) = 0; если х = 2/3, то, записав 2/3 в виде бесконечной десятичной дроби 0,6666…, находим f(x) = 6. А чему равно значение f(15)? Оно равно 0, так как 15 = 15,000…, и мы видим, что первый десятичный знак после запятой есть 0 (вообще – то верно равенство 15 = 14,999…, но математики договорились не рассматривать бесконечные периодические десятичные дроби с периодом 9).

Любое неотрицательное число х можно записать в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной), а потому для каждого значения х можно найти определенное число значений первого знака после запятой, так что мы можем говорить о функции, хотя и несколько необычной. D (f) = [0; +), У этой функции D (f) = [0; +), E (f) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Пример 2 Функция y = f (x) задана на множестве всех действительных чисел с помощью следующего правила: каждому числу х ставится в соответствие наибольшее из всех целых чисел, которые не превосходят x. Другими словами, функция определяется следующими условиями: 1.f (x) – целое число; 2.f (x) x; 3.f (x) + 1 > x. Если х = 2,534, то f (x) = 2; Если х = 47, то f (x) = 47; Если х = - 0,23, то f (x) = - 1.

Функцию, которая определяется условиями: f (x) – целое число; f (x) x;x; f + 1 > x,x, целой частью числа называют целой частью числа. D (f) = (-;+), E (f) = Z (множество целых чисел) Для целой части числа х используют обозначение [ x ]. [2,534] = 2 [47] = 47 [ - 0,23] = - 1

Из всех указанных способов задания функции наибольшие возможности для применения аппарата математического анализа дает аналитический способ, а н нн наибольшей наглядностью обладает г гг графический. Вот почему математический анализ основывается на глубоком синтезе аналитических и геометрических методов. Исследование функций, заданных аналитически, проводится гораздо легче и становится наглядным, если параллельно рассматривать и графики этих функций.

х у У=f(х) 0

х у=х

Великий математик - Дирихле В профессор Берлинского, с 1855 Гёттингенского университетов. Основные труды по теории чисел и математическому анализу. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, установил признак сходимости ряда (т.н. признак Дирихле, 1862), дал (1829) строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов. Значительные работы Дирихле посвящены механике и математической физике (принцип Дирихле в теории гармонической функции). Дирихле Петер Густав Лежён ( ) Немецкий математик, иностранный чл.-корр. Петербургской АН (с ), член Лондонского королевского общества (1855), Парижской АН (1854), Берлинской АН. Дирихле доказал теорему о существовании бесконечно большого числа простых чисел во всякой арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - числа взаимно простые и изучал (1837) закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, в связи с чем ввел функциональные ряды особого вида (т.н. ряды Дирихле).