Решение квадратных уравнений Когда уравнение решаешь, дружок Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно, Поставь в уравнение его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значение зовите тотчас. О. Севастьянова

1). Разложение левой части уравнения на множители. Пример: x x – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: x x – 24 = x x – 2x – 24 = x(x+12) – 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (x + 12)(x -2) = 0 Произведение двух множителей равно нулю, если, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Значит, числа -12 и 2 являются корнями уравнения x x – 24 = 0.

2) Метод выделения полного квадрата. Пример: x 2 + 6x – 7 = 0 Выделим в левой части полный квадрат x 2 + 6x – 7 = 0, x * x * = , (x + 3) 2 = 16. Следовательно, x + 3 = - 4, x 1 = -7, или x + 3 = 4, x 1 = 1 Числа – 7 и 1 являются корнями данного уравнения.

3) Решение квадратных уравнений по формуле. Пример: 4x 2 + 7x + 3 = 0. a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 – 4ac = 7 2 – 4 * 4 * 3 = 49 – 48 = 1, D > 0, два разных корня; x 1,2 = (-b ± D)/2a x 1,2 = (-7 ± 1)/8 x 1 = -1, x 2 = -0,75.

4) Решение квадратных уравнений по формуле, если b = 2k. Пример: 3x 2 – 14x + 16 = 0. a = 3, b = -14, c = 16, k = -7. D/4 = k 2 – ac = (-7) 2 – 3 * 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня; x 1,2 = (-k ± (D/4))/a x 1,2 = (-7 ± 1)/3 x 1 = 2, x 2 = 8/3.

5) Способ «переброски». Пример: 2x 2 – 11x + 15 = 0. Умножим левую и правую части уравнения на «2» и преобразуем уравнение 4x 2 – 22x + 30 = 0; (2x) 2 – 11(2x) + 30 = 0. Обозначим 2x = y. Получим уравнение: y 2 – 11y + 30 = 0. Согласно теореме Виета, y 1 = 5, y 2 = 6, следовательно, x 1 = 5/2, x 2 = 6/2, или x 1 = 2,5, x 2 = 3. Значит, числа 2,5 и 3 являются корнями уравнения

6) Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения 1. Если a + b + c = 0, то x 1 = 1, x 2 = c/a 2. Если a – b + c = 0, то x 1 = -1, x 2 = -c/a Пример 1: 345x x = 0. Т. к. a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то x 1 = 1, x 2 = - 208/345. Пример 2: 11x x - 16 = 0, Т. к. a - b + c = 0, (11 – = 0), то x 1 = -1, x 2 = -16/11.

Найдите устно корни квадратного уравнения, применяя теорему Виета: x 2 + px + q = 0. x 1 + x 2 = -p x 1 x 2 = q x 2 + 4x + 3 = 0 x 2 - 4x - 12 = 0 x 2 + 7x + 10 = 0 x 2 - 5x - 84 = 0 x x + 75 = 0 x 2 + x - 42 = 0 x 2 - 3x - 28 = 0 x 2 + 6x - 16 = 0 x 2 - 8x + 7 = 0

Группировка Применение формул сокращённого умножения Вынесение общих множителей