1 Неопределённый интеграл 1 Неопределённый интеграл Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) в промежутке a < x < b, если в любой точке этого промежутка ее производная равна f (x): F (x) = ƒ (x) => dƒ (x) = ƒ (x) dx, a dƒ (x) = ƒ (x) dx, a< x < b Отыскание первообразной функции по заданной её производной f(x) или по дифференциалу ƒ (x) dx есть действие, обратное дифференцированию, - интегрирование. Совокупность первообразных для функций f(x) или для дифференциала (x) dx называется неопределённым интегралом и обозначается символом S ƒ (x) dx. Таким образом, S ƒ (x) dx= F(x)+C если d[ F(x)+C]= ƒ(x)dx F(x)- подынтегральная функция; F(x)dx- подынтегральное выражение; С- произвольная постоянная.

2 Основные свойства неопределённого интеграла. 1) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: S dƒ(x) = F(x) +C 2) Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции: d S ƒ(x)dx= ƒ(x) dx, (Sƒ(x) dx)= ƒ(x) 3) Неопределённый интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов этих функций: S [ƒ(x)+φ(X)]dx= S ƒ(x) dx +Sφ(x) dx 4)Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределённого интеграла: S aƒ(x)dx= aSƒ(x) dx 5) Если S ƒ(x) dx= F(x)+C, и u=φ(x)- любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то S ƒ (u)du= F(u)+C.

3 Основные формулы интегрирования.

4 Интегрирование методом замены переменной. Сущность интегрирования заменой переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла Sƒ(x)dx в интеграл Sƒ(u)dx, который легко вычисляется по какой- либо из основных формул интегрирования. Для нахождения интеграла Sƒ(x)dx заменяем переменную x новой переменной u с помощью подстановки x=φ(u). Дифференцируя это равенство, получим dx=φ(u)du. Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их назначения, выраженные через u и du, имеем Sƒ(x)dx= ƒ[φ(u)]φ(u)du= SF(u)du. После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки u=ψ(x) он приводится к переменной x.

5 Пример: Введем подстановку 3x+2=u.Дифференцируя, имеем 3 dx= du, откуда Подставив в данный интеграл вместо 3x+2 и dx их выражения, получим Заменив u его выражением через x, находим Проверка:

6 Определённый интеграл Пусть функция f(x)определена на отрезке axb. Разобьём этот отрезок на n частей точками, выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезок axb называется сумма вида Определённым интегралом от функции ƒ(x) на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю: ƒ(x)dx=ƒ Для любой функции ƒ(x), непрерывной на отрезке всегда существует определённый интеграл ƒ(x)dx. Для вычисления определённого интеграла от функции ƒ(x) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл F(x), служит формула Ньютона- Лейбница: ƒ(x)dx=F(x)F(b)-F(a), Т.е. определённый интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

7 Вычисление определённого интеграла методом замены переменной. 7 Вычисление определённого интеграла методом замены переменной. При вычислении определённого интеграла методом замены переменной (способом подстановки) определённый интеграл преобразуется с помощью подстановки или x= в определённый интеграл относительно или x= в определённый интеграл относительно новой переменной u. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми приделами интегрирования а и β, которые находятся из исходной подстановки. Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путём решения уравнений и относительно а и b. и относительно а и b. Таким образом, имеем

8 Пример: Введём новую переменную интегрирования с помощью подстановки 2x-1=u Дифференцируя, имеем 2dx=du, откуда dx=du. Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение 2x-1=u значения х=2 и х=3, соответственно получим Следовательно,

Автор презентации: студентка группы тд-21 Крашенинникова А.Б.