Козикова Л.В. г.Санкт-Петербург

Известно, что планета Земля имеет форму геоида, то есть не является правильным шаром, однако, приближённо можно считать форму Земли шарообразной. Любой трёхмерный объект может рассматриваться с разных точек зрения и, при этом, выглядеть по-разному, но …не шар! Действительно, если рассматривать шар как геометрическое тело, то, с любой точки зрения он будет выглядеть одинаково и любая из его проекций на плоскость: вид спереди, сверху, слева или откуда угодно, дает одно и то же изображение – круг – так учит нас начертательная геометрия.

Основоположником этой науки является Гаспар Монж. В 16 лет он проявил большие способности в расчётах военно-инженерных сооружений, а затем создал метод графического решения задач стереометрии на чертежах, который заключается в том, что любой объект изображается в трёх проекциях на плоскость: фронтальной (вид спереди), горизонтальной (вид сверху) и профильной (вид слева). При построении этих проекций необходимо представить себе пучок проецирующих лучей и, если они направлены под прямым углом к плоскости проекций, то проекция называется прямоугольной.

Проекции цилиндра различны, а проекции шара – одинаковы. Поскольку Земля не геометрическое тело, а реальный объект, то эти проекции, очевидно, будут выглядеть по-разному, то есть мы увидим разные объекты на земной поверхности при взгляде спереди, сверху и слева.

В картографии эти проекции называются азимутальными. Для получения азимутальной проекции градусная сетка, нанесённая на шар, проецируется на плоскость, касательную к шару в одной из его точек. Характер проекции изменяется в зависимости от положения точки, из которой исходят проецирующие лучи, если она находится -на бесконечно большом расстоянии (лучи параллельны), то проекция ортографическая, -на поверхности земного шара – стереографическая, - в центре шара – центральная (гномоническая) проекция.

Но, чаще всего, в картографии используют другой метод получения изображения земной поверхности. Представим себе, что плоскость проекций представляет собой боковую поверхность цилиндра, разрезав её вдоль нулевого меридиана и развернув, мы получаем полную карту земной поверхности.

В прямоугольной равнопромежуточной проекции – Генриха Мореплавателя – сохраняются равные промежутки между параллелями и меридианами. В равноугольной проекции – проекции Меркатора – сохранено подобие фигур, то есть углы на карте равны углам на земной поверхности, очертания материков не искажены. В равновеликой проекции – проекции Ламберта – меридианы перпендикулярны параллелям и площади материков совпадают с истинными. Изображать карту мира подобным образом научились ещё в 16 веке известные картографы: Генрих Мореплаватель, Герард Меркатор и Иоганн Ламберт. Каждый из них изобрёл свой способ развёртки поверхности земного шара на плоскость.

Карта мира в проекции Меркатора Карта мира в проекции Ламберта Любой из этих способов неизбежно искажает или форму или размеры объектов. Нельзя ли найти такой способ, который даёт изображение без искажений?

Нет, с точки зрения математики это невозможно, так как поверхность шара нельзя развернуть на плоскость и картографам приходится выбирать, с какими искажениями можно согласиться и какую проекцию нужно выбрать для решения конкретной инженерной задачи.