Геометрия, 8 класс Подготовила Шкорко Н.В., с. Пшеницыно Чугуевского района Приморского края

ПИФАГОР САМОССКИЙ ПИФАГОР САМОССКИЙ – древнегреческий ученый VI век до н. э. Теорема, названная именем Пифагора, была известна задолго до него. Упоминания о ней встречаются в вавилонских текстах за 1200 лет до жизни ученого. Заслуга Пифагора в том, что он, по-видимому, нашел доказательство этой теоремы и, по преданию, в честь своего открытия принес в жертву богам быка. На сегодняшний день известно более ста различных доказательств этой теоремы.

Теорема. В прямоугольном треугольнике с а b c2c2 квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. = a 2 + b 2 Доказательство. Вначале загляни сюда.

Прежде, чем приступить к доказательству, вспомни: 1.Свойства площадей. 2.Как найти площадь прямоугольного треугольника. 3.Формулу квадрата суммы. Я все знаю.Надо повторить.

1.Свойства площадей: -Равные фигуры имеют равные площади. -Площадь фигуры равна сумме площадей частей, из которых она состоит. -Площадь квадрата со стороной а равна а 2. S = a 2. a 2. Площадь прямоугольного треугольника с катетами а и b : S = ½ ab. b a 3. Формула сокращенного умножения для квадрата суммы: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Назад

Дано: АВС – прямоугольный. Доказать: с 2 = а 2 + b 2. Доказательство. а b а а а b b b 1. Достроим треугольник до квадрата со стороной (а+b). Площадь этого квадрата S = (a + b) С другой стороны, этот квадрат составлен из 5 частей: четырех равных треугольников и квадрата со стороной с (подумай, почему). с с с с Поэтому его площадь равна: S = ½ ab 4 c2c2 + Приравняем: (а + b) 2 = ½ ab 4 + c 2 a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2 a 2 + b 2 = c 2 Что и требовалось доказать. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В кругах учащихся средних веков доказать теорему Пифагора считалось очень трудным и называлось иногда Pons asinorum – ослиный мост, так как слабые ученики, заучившие теорему без понимания, прозывались «ослами», и теорема была для них «непроходимым мостом». Веселые школяры придумывали о теореме стишки и рисовали карикатуры.

Готов ли ты преодолеть «ослиный мост» и ответить на вопросы? Не бойся выбрать «да», потому что если ты выберешь «нет», доказательство повторится снова. Но к нему ты сможешь вернуться и позже, с любого вопроса.

Вопрос 1. До какой фигуры надо достроить прямоугольный треугольник для доказательства теоремы? До квадрата со стороной с. До квадрата со стороной а+b. До треугольника со сторонами а+b. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ПРАВИЛЬНО

Вопрос 2. Чему равна площадь большого квадрата? S = (a + b) 2 S = a 2 S = c 2 S = ½ ab Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ПРАВИЛЬНО

Вопрос 3. Из каких частей состоит большой квадрат на рисунке? а b с а а а b b b с с с Из пяти разных частей. Из двух квадратовИз двух квадратов. Из четырех прямоугольных треугольников. Из четырех прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ПРАВИЛЬНО

Вопрос 4. Почему внутри большого квадрата получился квадрат со стороной с? Посмотреть ответПосмотреть ответ. а b с а а а b b b с с с Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

а b с а а а b b b с с с ) = 90° (сумма острых углов прямоугольного треугольника). 1 = 3 (соответственные углы в равных треугольниках). Значит = 90°, отсюда 4 = 90° (углы 2, 3 и 4 в сумме составляют развернутый угол). Остальные углы четырехугольника АВСD также равны 90° (подумай, почему) 2) Все стороны АВСD равны с. Следовательно, АВСD – квадрат, так как у него все стороны равны и все углы прямые. А D С В Докажем, что АВСD– квадрат.

Вопрос 5. Как записать сумму площадей частей, из которых состоит большой квадрат? ½ ab + c 2 ½ ab 4 + c 2 a 2 + b 2 Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ПРАВИЛЬНО

Молодец, ты справился с вопросами. Позови учителя.

Запиши теорему Пифагора для треугольника на рисунке: A CB Проверь: АВ 2 = АС 2 + ВС 2 Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Подсказка 1. АВ – гипотенуза, АС и ВС – катеты. Подсказка 2. АВ 2 – квадрат гипотенузы. Подсказка 3. АС 2 + ВС 2 – сумма квадратов катетов.

MN K Запиши теорему Пифагора для треугольника на рисунке: MK 2 = MN 2 + NK 2 Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

x z y Запиши теорему Пифагора для треугольника на рисунке: x 2 = y 2 + z 2 Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Научись решать задачи с применением теоремы Пифагора

Задача 1. В прямоугольном треугольнике АВС катеты равны 8 см и 10 см. Найти гипотенузу. Запиши условие и сделай рисунок Дано: АВС - прямоугольный, С – прямой, АС=8 см, ВС=10 см. Найти: АВ. Запиши теорему Пифагора для АВС Решение. По теореме Пифагора: АВ 2 = АС 2 + ВС 2. Вырази сторону АВ из этого равенства АВ = АС 2 + ВС 2. Подставь данные из условия и вычисли АВ АВ = = 164 = 4 41 = 2 41 Ответ: 2 41 см А В С 8 10

3 4 ? Варианты ответов: 7 см 25 см 5 см Задача 2. Найди гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см.

Не правильно. Посмотри решение задачи 2. Дано: АВС – прямоугольный, а = 3 см, b = 4 см. Найти: с 3 4 ? Решение. По теореме Пифагора с 2 = а 2 + b 2. с = а 2 + b 2 с = = 25 = 5 Ответ: 5 см.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С сторона АВ = 13 см, АС = 5 см. Найди ВС. Варианты ответов: 194 см 12 см 18 см 5 ? 13 В С А

Не правильно. Посмотри решение задачи 3. Дано: АВС – прямоугольный, АВ = 13 см, АС = 5 см. Найти: ВС. Решение. По теореме Пифагора гипотенуза АВ 2 = АС 2 + ВС 2, откуда катет ВС 2 = АВ 2 – АС 2. ВС = = 144 = 12. Ответ: ВС = 12 см. 5 ? 13 В С А

Следующие задачи реши в тетради и покажи учителю. 4. Найди гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 6 см. 5. Найди катет прямоугольного треугольника, если другой катет 22 см и гипотенуза 62 см. 6. В прямоугольном треугольнике а и b – катеты, с – гипотенуза. Найди b, если а = 12, с = 3b.

Если у тебя осталось время, попробуй найти разные доказательства теоремы Пифагора в Интернете. Может быть, ты найдешь и другие интересные сведения об этой замечательной теореме.

В презентации использованы материалы из книги Г. И. Глейзера «История математики в школе»; М.: Просвещение, 1982 г. Изображения с сайтов:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Дано: АВС – прямоугольный. Доказать: с 2 = а 2 + b 2. Доказательство. 1. Достроим треугольник до квадрата со стороной а+b. Площадь этого квадрата S = (a + b) С другой стороны этот квадрат составлен из пяти частей: четырех равных треугольников и квадрата со стороной с. Поэтому его площадь равна S = ½ ab 4 + c 2 3. Приравняем полученные выражения: (а + b) 2 = ½ ab 4 + c 2, слева откроем скобки, справа упростим: a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2, отнимем от обеих частей 2ab и получим a 2 + b 2 = c 2, что и требовалось доказать. а b с а а а b b b с с с назад ТеоремаТеорема

НЕ ПРАВИЛЬНО Повтори теорему еще раз.