Решение задач с помощью аффинных преобразований. Учитель математики высшей квалификационной категории Подушкина О. Ю. МОУ гимназия 4 Образование индивидуальности обеспечивает наиболее высокие результаты деятельности человека. Резвицкий И. И.

Краткий теоретический материал Сообщаем, что система координат не обязательно должна быть прямоугольной. Если выбрать на плоскости 3 точки, не лежащие на одной прямой, то они и будут задавать аффинную систему координат, а точка О и векторы и образуют аффинный репер (базис). Сообщаем, что система координат не обязательно должна быть прямоугольной. Если выбрать на плоскости 3 точки, не лежащие на одной прямой, то они и будут задавать аффинную систему координат, а точка О и векторы и образуют аффинный репер (базис). Пусть у точки М аффинные координаты будут х и у в репере R. Пусть у точки М аффинные координаты будут х и у в репере R. Тогда точка в системе координат ( в репере ) имеет те же координаты (х;у). Тогда точка в системе координат ( в репере ) имеет те же координаты (х;у).

Определение 1. Пусть в плоскостях и заданы два аффинных репера и, соответственно. Отображение плоскости на плоскость называется аффинным отображением плоскостей, если при этом отображении точка M с координатами в системе координат ( репере ) переходит в точку с теми же координатами в системе координат (репере ). Пусть в плоскостях и заданы два аффинных репера и, соответственно. Отображение плоскости на плоскость называется аффинным отображением плоскостей, если при этом отображении точка M с координатами в системе координат ( репере ) переходит в точку с теми же координатами в системе координат (репере ).

Свойства аффинных преобразований. Свойства аффинных преобразований. 1) По свойствам координат аффинное преобразование является взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость: - каждая точка имеет образ и притом только один; -разные точки имеют разные образы; -каждая точка области значений имеет прообраз. 2) Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую. 3) Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование. 4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые -в пересекающиеся прямые, а параллельные – в параллельные. 5) При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых. 6) Отношения площадей многоугольников также сохраняются.

Примечания Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы. Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы. Замечание1: Если А, В, С- три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, а - три другие точки, не лежащие на одной прямой, то существует и притом только одно аффинное преобразование, переводящее точки А, В, С в точки. Замечание2: Параллельное проектирование есть аффинное преобразование плоскости на плоскость.

Примеры аффинных преобразований

При параллельном проектировании одной плоскости на другую фигура подвергается аффинному преобразованию.

Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, отношение площадей, доказать параллельность или принадлежность точек одной прямой. Причем в условии задачи не должны содержаться данные, не сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, отношение площадей, доказать параллельность или принадлежность точек одной прямой. Причем в условии задачи не должны содержаться данные, не сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Свойства фигур называются аффинными, если они сохраняются при аффинных отображениях. Например, быть медианой треугольника- это аффинное свойство ( середина стороны переходит в середину при аффинном отображении), а быть биссектрисой – нет. Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру. Свойства фигур называются аффинными, если они сохраняются при аффинных отображениях. Например, быть медианой треугольника- это аффинное свойство ( середина стороны переходит в середину при аффинном отображении), а быть биссектрисой – нет. Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру.

Задача 1. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Доказать, что медианы произвольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 1.

Решение. Пусть дан треугольник AВС. Пусть дан треугольник AВС. Возьмем равносторонний треугольник. У этого треугольника медианы, пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Возьмем равносторонний треугольник. У этого треугольника медианы, пересекаются в одной точке (как высоты или биссектрисы равностороннего треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Действительно, и. Действительно, и. А отношение из прямоугольного А отношение из прямоугольного треугольника. Значит,. треугольника. Значит,. Зададим аффинное отображение, переводящее треугольник в треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника переходят в медианы треугольника АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины. Зададим аффинное отображение, переводящее треугольник в треугольник АВС. При этом отображении медианы треугольника переходят в медианы треугольника АВС и их точка пересечения переходит в точку пересечения их образов и она делит медианы треугольника ABC в отношении 2:1, считая от вершины.

Задача 2. Доказать, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой. Доказать, что в любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой M и N – середины оснований, Q – точка пересечения диагоналей, О – точка пересечения продолжений боковых сторон. Возьмем произвольный равнобедренный треугольник. Существует аффинное отображение, переводящее точки А в, В в, О в.При этом аффинном отображении на отрезке существует точка - образ точки D, а на отрезке - точка ( образ точки С). Трапеция равнобокая. Доказать сформулированную задачу для равнобокой трапеции труда не составит (при чем не одним способом). Таким образом, доказав, что точки,,, лежат на одной прямой, применим свойство аффинных отображений (отображение, обратное к аффинному, есть снова аффинное отображение) и перенесем доказанный факт на произвольную трапецию. Пусть дана трапеция ABCD, в которой M и N – середины оснований, Q – точка пересечения диагоналей, О – точка пересечения продолжений боковых сторон. Возьмем произвольный равнобедренный треугольник. Существует аффинное отображение, переводящее точки А в, В в, О в.При этом аффинном отображении на отрезке существует точка - образ точки D, а на отрезке - точка ( образ точки С). Трапеция равнобокая. Доказать сформулированную задачу для равнобокой трапеции труда не составит (при чем не одним способом). Таким образом, доказав, что точки,,, лежат на одной прямой, применим свойство аффинных отображений (отображение, обратное к аффинному, есть снова аффинное отображение) и перенесем доказанный факт на произвольную трапецию.

Задача 3. Через точку О, лежащую в треугольнике АВС, проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1; 2,25 и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов. Через точку О, лежащую в треугольнике АВС, проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1; 2,25 и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов.

Задача 3.

Решение. Пусть даны два треугольника: произвольный и равносторонний. Решить задачу на равностороннем треугольнике намного проще. Возьмем аффинное отображение, переводящее произвольный треугольник в равносторонний. Решаем задачу на равностороннем. Пусть даны два треугольника: произвольный и равносторонний. Решить задачу на равностороннем треугольнике намного проще. Возьмем аффинное отображение, переводящее произвольный треугольник в равносторонний. Решаем задачу на равностороннем.

Треугольники, получившиеся внутри нашего равностороннего, являются подобными (по 2 углам). Следовательно, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, обозначим - их стороны. Треугольники, получившиеся внутри нашего равностороннего, являются подобными (по 2 углам). Следовательно, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, обозначим - их стороны. Тогда и b=1,5, аналогично Тогда и b=1,5, аналогично и. Сторона нашего равностороннего треугольника будет равна Его площадь можно найти, например, по формуле и. Сторона нашего равностороннего треугольника будет равна Его площадь можно найти, например, по формуле Чтобы найти сумму площадей параллелограммов, надо из общей площади треугольника вычесть сумму площадей всех треугольников Чтобы найти сумму площадей параллелограммов, надо из общей площади треугольника вычесть сумму площадей всех треугольников

Задача 4 (стереометрическая). Докажите, что диагональ параллелепипеда проходит через точки пересечения медиан треугольников и и делится этими точками на три равных отрезка. Докажите, что диагональ параллелепипеда проходит через точки пересечения медиан треугольников и и делится этими точками на три равных отрезка.

Докажем, что точки делят диагональ на три равных отрезка. 1)Рассмотрим пирамиду. В ней = = - ребра куба, а = = как диагонали равных граней, - точка пересечения медиан треугольника она же точка пересечения биссектрис, следовательно, является центром вписанной окружности, т. е. центром правильного треугольника. - высота правильной пирамиды. Вычислим длину предварительно взяв ребро куба за. Тогда = = = = - радиус описанной окружности. Найдем из треугольника 2) Аналогично найдем = в пирамиде

3) Из треугольника находим диагональ куба = = 4) Вычислим = - ( + ) =. 5) Получили ==. Значит, точки и делят диагональ куба на три равных отрезка. Существует аффинное отображение, переводящее куб в произвольный параллелепипед. Значит, эта задача будет верна и для произвольного параллелепипеда.

Задача 5. Треугольная пирамида рассечена плоскостью так, что медианы боковых граней разбиты точками пересечения в отношении 2:1, 3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, разбиты боковые рёбра? Треугольная пирамида рассечена плоскостью так, что медианы боковых граней разбиты точками пересечения в отношении 2:1, 3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, разбиты боковые рёбра? (Из материалов МГТУ им. Баумана). Ответ: 12:7, 12:5, 12:1 (Из материалов МГТУ им. Баумана). Ответ: 12:7, 12:5, 12:1

Решение К М N Анализируя, выберем сами удобные числовые значения для боковых рёбер пирамиды. Тогда координаты точек А( 40;0;0), В(0;15;0), С(0;0;24).

Точка (KMN), если существуют такие, что, Точка (KMN), если существуют такие, что, допустим (это векторы). Координаты векторов (15; -5; 1), (16; 1; -8), (х; -5; -8). Тогда имеет место следующая система уравнений допустим (это векторы). Координаты векторов (15; -5; 1), (16; 1; -8), (х; -5; -8). Тогда имеет место следующая система уравнений

Значит, точка делит ребро ОА в отношении 12:1. Аналогично можно найти отношения и для двух других сторон 12:7, 12:5. Решив задачу на «удобной» пирамиде, учитывая, что существует аффинное преобразование, переводящее эту пирамиду в произвольную, переносим результат на произвольную пирамиду.

Задача: Задача: Пусть заданы два треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 в одной плоскости. Прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников пересекаются в одной точке S. Если прямые, содержащие соответствующие стороны этих треугольников попарно пересекаются, то точки пересечения лежат на одной прямой.

Доказательство Любой четырехугольник может рассматриваться, как образ тетраэдра при параллельной проекции на плоскость. Рассмотрим четырехугольник SABС. Любой четырехугольник может рассматриваться, как образ тетраэдра при параллельной проекции на плоскость. Рассмотрим четырехугольник SABС. А точки являются изображением точек А точки являются изображением точек пирамиды, образующих некоторое сечение пирамиды. пирамиды, образующих некоторое сечение пирамиды.

Чтобы избавиться от лишней символики, будем смотреть на конфигурацию Дезарга (первый рисунок) как на изображение пирамиды SABC с сечением плоскостью. А чтобы доказать принадлежность трех точек одной прямой, построим пересечение плоскостей АВС и (так как две плоскости пересекаются по прямой). Чтобы избавиться от лишней символики, будем смотреть на конфигурацию Дезарга (первый рисунок) как на изображение пирамиды SABC с сечением плоскостью. А чтобы доказать принадлежность трех точек одной прямой, построим пересечение плоскостей АВС и (так как две плоскости пересекаются по прямой). Построение:1) Построение:1) 2) 2) 3) 3) В пересечении плоскостей три точки, следовательно, они лежат на одной прямой. Теорема Дезарга доказана. В пересечении плоскостей три точки, следовательно, они лежат на одной прямой. Теорема Дезарга доказана.

Теорема Дезарга: Теорема Дезарга: Пусть заданы два треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 в одной плоскости. Прямые, проходящие через соответствующие вершины этих треугольников пересекаются в одной точке S. Если прямые, содержащие соответствующие стороны этих треугольников попарно пересекаются, то точки пересечения лежат на одной прямой.

Задача 6 (Соросовская олимпиада (9 класс)) В плоскости даны три луча с общим началом и три точки A, B, C (как на чертеже). С помощью одной линейки построить треугольник с вершинами на этих лучах, стороны которого проходят через точки A, B, C соответственно. Будем рассматривать эту картинку как аффинный образ некоторого тетраэдра на плоскость. Вершина пирамиды попадает при проекции в начало лучей, а точки А, В, С – изображения точек на рёбрах основания тетраэдра. Тогда задача сводится к тому, чтобы построить изображение самого основания. Будем рассматривать эту картинку как аффинный образ некоторого тетраэдра на плоскость. Вершина пирамиды попадает при проекции в начало лучей, а точки А, В, С – изображения точек на рёбрах основания тетраэдра. Тогда задача сводится к тому, чтобы построить изображение самого основания. l3l3 l2l2 l1l1

Построение 1)Возьмем произвольную точку S на луче. 1)Возьмем произвольную точку S на луче. 2) Проведем прямые SA, SB. 2) Проведем прямые SA, SB. 3) 3) 4) 4) 5) 5) 6) 6) 7), 7), 8)XYZ- искомый треугольник 8)XYZ- искомый треугольник l3l3 l2l2 l1l1

Выводы Метод позволяет перейти от более сложного к более простому для осуществления процесса решения. Метод позволяет перейти от более сложного к более простому для осуществления процесса решения. Носит обобщающий характер. Носит обобщающий характер. Имеет широкую область применения, в том числе в смежных областях. Имеет широкую область применения, в том числе в смежных областях. Позволяет интегрировать разные разделы математики. Позволяет интегрировать разные разделы математики. Осмысление и применение данного метода формирует у учащихся конструктивный подход к решению задач и критичность мышления. Осмысление и применение данного метода формирует у учащихся конструктивный подход к решению задач и критичность мышления. В программе профильного уровня по геометрии есть раздел «Решение задач с помощью геометрических преобразований» и изучение данного метода можно отнести именно в эту тему. В программе профильного уровня по геометрии есть раздел «Решение задач с помощью геометрических преобразований» и изучение данного метода можно отнести именно в эту тему. Рассматривать данный метод можно и на элективных курсах, а также при комплексном повторении планиметрии в классе. Рассматривать данный метод можно и на элективных курсах, а также при комплексном повторении планиметрии в классе.