Из истории развития теории экстремальных значений величин. «…Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин…» Л.П.Чебышев.

Введение История сохранила легенду о самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.).

Александрийский ученый Герон Первое замечательное открытие в области теории экстремальных значений величин относится к первому столетию нашей эры. Александрийский ученый Герон установил, что путь светового луча от точки А до точки В при отражении от зеркала МК в точке С является кратчайшим (минимальным) расстоянием.

То, что световой луч АС, отражаясь от зеркала МК, образует с зеркальной поверхностью равные углы (угол падения светового луча равен углу отражения), было известно и ранее, но тот факт, что расстояние АС+СВ меньше АС+СВ, где С – любая другая точка зеркальной плоскости, отличная от С – было открытием. А МК СС В

Немецкий математик Герман Шварц ( ) Дальнейшим развитием теории экстремальных значений величин следует считать решение треугольника Шварца. Задача заключалась в том, чтобы в остроугольный треугольник вписать треугольник с минимальным периметром. Таким треугольником называется так называемый высотный треугольник А¹В¹С¹, вершинами которого являются основания высот данного треугольника АВС. Опираясь на задачу Герона, если предположить что стороны треугольника АВС «зеркальные», то высотный треугольник будет единственным треугольным контуром пути световых лучей. Обобщение этой задачи нашло большое практическое приложение в динамике и оптике.

Немецкий геометр Якоб Штейнер В начале 19 века немецкий геометр Якоб Штейнер доказал два метода решения экстремальных задач. Первый – синтетический, т.е. с помощью частных приемов, второй метод с помощью дифференциального исчисления. Примером первого метода может служить решение проблемы минимизации общей протяженности дорог, связывающих несколько пунктов.

В более корректной математической постановке проблема Штейнера формулируется следующим образом: В плоскости даны три точки А,В,С. Найти четвертую точку М плоскости так, чтобы сумма длин АМ+ВМ+СМ была минимальной. А В М С

Швейцарский математик Иоганн Бернулли ( ) Дальнейшим развитием экстремальных задач можно считать вариационные задачи. Исторически первой вариационной задачей была задача о брахистохроне. Пусть А и В – две точки. Будем считать, что находится выше В и что они не лежат на одной вертикальной прямой. Требуется из всех возможных путей, соединяющих А и В, найти такой, по которому материальная точка скатится из А в В (под действием силы тяжести) в кратчайший срок. Кривая, по которой точка будет скатываться в кратчайший срок – называется брахистохроной. Брахистохроной оказалась циклоида, лежащая в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В.

Решение этой задачи очень сложное и рассматривать мы не будем. Приведем примеры циклоиды.

в 20 веке зародилось новое направление прикладной математики - линейное программирование. В 1936 году лауреат Ленинской и Нобелевской премий академик Л.В. Канторович решил задачу с вязанную нахождением наибольшего или наименьшего значения линейной целевой функции нескольких переменных с линейными ограничениями. Слово « программирование» - происходит от конечной цели метода – составления оптимальных программ, т.е наилучшего плана.

Мы рассмотрим несколько задач, решение которых основывается на перечисленных выше фактах. Задача1 Площадь треугольника АВС равна S. Укажите такой треугольник со стороной АС и площадью S, чтобы сумма длин двух других сторон была наименьшей. Решение S= 1/2 АС H. Заданную площадь треугольника определяет сторона АС и высота Н. Проведем через точку В прямую МК параллельную АС. Теперь задачу можно сформулировать так: на прямой МК найдите такую точку В, чтобы сумма АВ+ВС была наименьшей, для случая, когда две точки А и С расположены в одной полуплоскости с границей МК на одном и том же расстоянии от МК. Опираясь на задачу Герона утверждаем, что треугольник АВС – равнобедренный. В АС В МК н

Задача 2 Точки А,В,С,D –вершины квадрата. Построим кратчайшую систему линий: с одним узлом; двумя узлами. Взяв в качестве узла точку пересечения диагоналей квадрата, мы получим кратчайшую систему отрезков с одним узлом, соединяющих вершины квадрата. Рис.1 Примером кратчайшей системы с двумя узлами может служить рисунок 2. о

Задача 3 На плоскости даны к точек. Требуется найти замкнутый, состоящий из прямолинейных отрезков путь минимальной длины, связывающий эти точки. Эту задачу часто называют задачей о бродячем торговце. Данные точки – населенные пункты. Торговец должен обойти все их по кратчайшему маршруту. Как видим условие этой задачи очень простое. Однако эффективного решения ее (отличного от сравнения всех возможных маршрутов) все еще не найдено. Может кто-то из вас найдет оригинальное решение этой задачи. Желаем успеха!

Используемая литература: Ф. Ф.Нагибин. Экстремумы. М.1968г. Э.С.Беляева, В.М. Монахов. Экстремальные задачи. М.1977г. И.П. Натансон Простейшие задачи на максимум и минимум. М.1951г.

Над презентацией работали учащиеся 26 группы: Иванов Роман Мустафаев Родион Абрамов Кирилл Хрищук Алексей