ЦОР по теме: «Треугольники» Разработала: Маланко Е.Г. учитель математики МОУ «Гимназия 1» I квалификационная категория

С В Треугольник A,B,C – вершины АВ, ВС, АС – стороны АВС, ВСА, САВ САВ, АВС, ВСА – углы треугольника Р АВС = АВ+ВС+АС А

Две фигуры, в частности, два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением ABC = A 1 B 1 C 1 A C B A1A1 C1C1 B1B1

Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны. C B A1A1 C1C1 B1B1 A

Первый признак равенства треугольников: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: 1. Так как А = A 1, то АВС можно наложить на A 1 B 1 C 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1. A C B A1A1 B1B1 С1С1 Дано: АВС и A 1 B 1 C 1 АВ = A 1 B 1, AC = A 1 С 1, А = A 1 Доказать: АВС = A 1 B 1 C 1 2. Стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и А 1 С Так как АВ = A 1 B 1, то сторона АВ совместится со стороной A 1 B Так как АС = A 1 С 1, то сторона АС совместится со стороной A 1 С Следовательно, совместились точки В и В 1, С и С 1, а значит и стороны ВС и В 1 С Итак, АВС и A 1 B 1 C 1 совместились полностью, а значит они равны

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Дано: АВС и EDC AC = EC BC = DC Доказать: АВС = EDC A B E D C Доказательство: 1) BC = DC по условию 2) AC = EC по условию 3) ВСА = DCE как вертикальные АВС = EDC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников)

D E C K Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство EDС = KDC по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников) Дано: EDС и KDC ED = KD EDC = KDC Доказать: EDС = KDC Доказательство: 1) ED = KD по условию 2) EDC = KDC по условию 3) CD - общая S

EDС = CFE по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников) Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство C D F E Дано: EDС и CFE ED = CF DEC = FCE Доказать: EDС = CFE Доказательство: 1) ED = CF по условию 2) DEC = FCE по условию 3) CE - общая S

А В С Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника медианой треугольника. В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке биссектрисой треугольника биссектрисой треугольника. А В С

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется А В С высотой треугольника высотой треугольника. В любом треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке

А В С В любом высоты или их продолжения треугольнике высоты или их продолжения пересекаются в одной точке Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника высотой треугольника.

Равнобедренный треугольник Треугольник называется равнобедренным, если его две стороны равны Основание Боковая сторона

Равносторонний треугольник Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Свойство равнобедренного треугольника : В равнобедренном треугольнике углы при основании равны 2. АВD = АСD по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, АD – общая, 1 = = 2, т.к. АD – биссектриса) 3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому В = С. 1 2 Дано: АВС - равнобедренный АВ = AC Доказать: В = С А В С Доказательство: 1. Пусть АD – биссектриса АВС. D S

Свойство равнобедренного треугольника : В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой 1) Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и 3 = 4. 2) Т.к. BD = DC, значит D – середина BC => АD – медиана 3) Т.к. 3 = 4, а они смежные, значит они прямые => AD - высота 34 Дано: АВС - равнобедренный BC – основание АD – биссектриса Доказать: 1) АD – медиана 2) AD - высота А В С Доказательство: D

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является м мм медианой и б бб биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является в вв высотой и б бб биссектрисой. А В С D

Второй признак равенства треугольников: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: 1. Наложим АВС на A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1,сторона АВ – с A 1 B 1, а вершины С и C 1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. A B A1A1 B1B1 Дано: АВС и A 1 B 1 C 1 АВ = A 1 B 1, А = A 1, В = B 1 Доказать: АВС = A 1 B 1 C 1 2. Т.к. А = A 1,то сторона АС наложится на луч A 1 C Т.к. В = B 1, то сторона ВС наложится на луч B 1 C Вершина С окажется лежащей как на луче A 1 С 1, так и на луче В 1 С 1 => совместится с вершиной С Значит, совместятся стороны АС и А 1 С 1, ВС и В 1 С Итак, АВС и A 1 B 1 C 1 совместились полностью, а значит они равны С1С1 C

Третий признак равенства треугольников: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство: 1 случай: луч СС 1 проходит внутри A 1 C 1 B 1. Дано: АВС и A 1 B 1 C 1 АВ = A 1 B 1, ВС = В 1 С 1, СА = С 1 А 1, Доказать: АВС = A 1 B 1 C 1 2. Т.к. ВС = В 1 С 1, АС = А 1 С 1 по условию, то A 1 C 1 С и B 1 C 1 С - равнобедренные 3. Т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то 1 = 2, 3 = 4, поэтому A 1 СВ 1 = A 1 C 1 В 1 4. Итак, АС = А 1 С 1, ВС = В 1 С 1, С = C 1 = > АВС = A 1 B 1 C 1 по первому признаку равенства треугольников. B 1 (В) А 1 (А) СС1С

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Дано: MNP и RQP NP = QP MNP = RQP Доказать: MNP = RQP Доказательство: 1) NP = QP по условию 2) MNP = RQP по условию 3) NPM = QPR как вертикальные 4) MNP = RQP по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников) Q N M P R

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Дано: АВС и DBE AB = DB BAC = BDE Доказать: АВС = DBE Доказательство: 1) AB = DB по условию 2) BAC = BDE по условию 3) ABC = DBE как вертикальные 4) АВС = DBЕ по стороне и двум прилежащим к ней углам (2 признак равенства треугольников) AC B E D

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Дано: АВС и DBC AB = DB AC = DC Доказать: АВС = DBC Доказательство: 1) AB = DB по условию 2) AC = DC по условию 3) BC - общая 4) АВС = DBC по трём сторонам (третий признак равенства треугольников) A C D B S

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Дано: KLN и MNL KL = MN KN = ML Доказать: KLN = MNL Доказательство: 1) KL = MN по условию 2) KN = ML по условию 3) LN - общая 4) KLN = MNL по трём сторонам (третий признак равенства треугольников) KN LM S