Устная работаД/зД/зРешение задачПроверка д/з ТЕМА УРОКА: Повторение геометрии при подготовке к итоговой аттестации ЦЕЛИ УРОКА: обобщить и систематизировать полученные и приобретенные знания, умения, навыки; активация элементов ранее изученного материала; повторить свойства фигур, рассмотреть различные способы расположения геометрических фигур на плоскости; при решении стандартных задач рассматривать возможность другой конфигурации фигур. АВТОРЫ: Веприкова Римма Хабибулаевна (учитель математики) Зайцева Вера Васильевна (учитель информатики) МОУ – Гимназия 2 г. Клин Московской области Веприкова Римма Хабибулаевна (учитель математики) Зайцева Вера Васильевна (учитель информатики) МОУ – Гимназия 2 г. Клин Московской области

Устная работа Д/зД/зРешение задачПроверка д/з Задача 1 Задача 2Задача 3 Дано: CBD=35 ; BF=2см; AD=3см; AF=FC; CAD= ACB. Найти: ADF; FD ; BC. Решение A C D F B

Устная работа Д/зД/зРешение задачПроверка д/з A C D F B 3 2 Решение 1). Так как CAD= ACB – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых BC||AD. Дано: CBD=35 ; BF=2см; AD=3см; AF=FC; CAD= ACB. Найти: ADF; FD ; BC. 2). Рассмотрим AFD= BFC по стороне и двум прилежащим углам (1.AF=FC; 2. CAD= ACB; 3. AFD = BFC). ВF=FD; FBC= ADF; BC=AD BC=AD=3 (см); ВF=FD=2 (см); ADF=35. Ответ: 35 ; 3 см; 2 см. 2 Задача 1 Задача 2Задача 3 1

Д/зД/зРешение задач Устная работа Проверка д/з Задача 2 Задача 1Задача 3 A D F B Дано: AB=BC; CF=FD. Доказать, что AB||DF. Доказательство C 1 2

Д/зД/зРешение задач Устная работа Проверка д/з Задача 2 Задача 1Задача 3 A D F B Дано: AB=BC; CF=FD. Доказать, что AB || DF. C Доказательство 1). ABC – равнобедренный (по определению), так как AB=BC BAC= ACB по свойству равнобедренного треугольника. 2). CDF – равнобедренный по определению, так как CF=FD DCF= CDF (по свойству). 3) ACB= DCF – вертикальные BAC= CDF – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых AB||FD, что и требовалось доказать. 2 1

Д/зД/зРешение задач Устная работа Проверка д/з Задача 2 Задача 3 Задача 1 B A C O D F Дано: (O;R) – окружность т.A,B,C,D (O;R) AC BD= т.F Записать: пропорциональные отрезки. Решение 1 2

Д/зД/зРешение задач Устная работа Проверка д/з Задача 2 Задача 3 Задача 1 B A C O D F Дано: (O;R) – окружность т.A,B,C,D (O;R) AC BD= т.F Записать: пропорциональные отрезки. Решение 1). ABD= ACD – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу AD. 2). BAC= CDB – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу BC. 3). AFB= CFD – вертикальные стороны AF и DF; BF и CF; AB и CD – сходственные стороны ABF CDF 2 1

Д/зД/зРешение задач Проверка д/з Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках M и N. Найти длину отрезка MN, если расстояние от точки A до центра окружности равно a. Решение A MN O B 1 2

Д/зД/зРешение задач Проверка д/з Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Слайд 5 Решение A MN O B Задача 1 Задача 2 OM и ON – радиусы окружности; по свойству радиуса, проведенного в точку касания, OM MA; ON NA. AMO= ANO – прямоугольные (по катету и гипотенузе: OM=ON=r; OA – общая) OAM= OAN. AM=AN AMN – равнобедренный (по определению) AOM= AON. По свойству равнобедренного треугольника: AB – биссектриса, медиана и высота MB=BN; AB MN. S (AMO) =½MB ˑ AO или S (AMO) =½MO ˑ AM Из AMO: по теореме Пифагора: и Ответ: 2 1

Д/зД/зРешение задач Проверка д/з Устная работа Проверка д/з Задача 2 В параллелограмме ABCD (AB||CD) диагонали AC=c; BD=3с/2. Найти площадь параллелограмма, если CAB=2 ABD. Решение A C D O B Задача 1 1 2

Д/зД/зРешение задач Проверка д/з Устная работа Проверка д/з Задача 2 Решение Точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Для вычисления площади применим формулу S (ABCD) =½AC ˑ BD ˑ sin AOB; S (ABCD) =¾c 2 ˑ sin AOB Пусть DBA=, тогда CAB=2, AOB=π – 3. По теореме синусов из AOB: Тогда, используя формулу sin3, получаем sin AOB=sin3 =3sin –4sin3 = Ответ: Задача 2 Задача 1 A C D O B 3 2 1

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b. Решение A C B a b Искомую сторону ABC обозначим c, то есть AB=c T 1

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Решение A C B a b Искомую сторону ABC обозначим c, то есть AB=c c B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C. Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b T 2

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Решение A C B a b Искомую сторону ABC обозначим c, то есть AB=c Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b. c B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C. 2 D T 3

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Решение A C B a b Искомую сторону ABC обозначим c, то есть AB=c Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b. c B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C. 2 D Рассмотрим CBD – равнобедренный, так как BCD= B= (углы при основании ABD) BD=CD. Пусть BD = x, тогда AD=c – x, CD=x T 4

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Решение A C B a b Искомую сторону ABC обозначим c, то есть AB=c Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b. c B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C. 2 D Рассмотрим CBD – равнобедренный, так как BCD= B= (углы при основании ABD) BD=CD. Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x. x x T 5

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Решение A C B a b Искомую сторону ABC обозначим c, то есть AB=c Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b. c B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C. 2 D Рассмотрим CBD – равнобедренный, так как BCD= B= (углы при основании ABD) BD=CD. Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x. x x По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника T 6

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Доказательство AC B Пусть AD – биссектриса ABC. Так как площади треугольников, имеющих общую вершину A, относятся как длины их оснований, то Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. D Теорема о биссектрисе с другой стороны, эти площади относятся как длины сторон: Из (1) и(2) следует, что Теорема доказана T

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 A C B a b Из подобия треугольников найдем c Приравнивая правые части (1) и (2) равенства, получим 2 D x x По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника: С другой стороны, ACD=, a ADC=2 (как внешний угол CBD). Тогда три угла ACD равны трем углам ABC, следовательно, ACD ̴ ABC. 2 Ответ: T 8

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Точка N лежит на стороне AC правильного треугольника ABC. Найти отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABN и ABC, если AN:AC=n Решение Задача 1 Задача 2 B ACN Обозначим сторону треугольника ABC через а, тогда AN=na. Сторону BN найдем по теореме косинусов: R1 – радиус окружности, описанной около ABN. R2 – радиус окружности, описанной около ABC. Применим формулу 1 2 3

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Задача 1 Задача 2 Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных из середин сторон этого треугольника. Радиус R окружности, описанной около треугольника, по его сторонам и полупериметру вычисляется по формуле: Также радиус R окружности, описанной около треугольника, может быть вычислен по формулам: где S – площадь треугольника, h c – высота, проведенная из вершины С

Д/зД/зПроверка д/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 B ACN Применяя формулу получим, что Если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. А так как ABN и ABC имеют общую высоту, проведенную из вершины B, то их площади относятся как длины оснований: Подставляя выражения для площадей, получим: Ответ: 21 3

Проверка д/з Д/зД/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 Трапеция ABCD вписана в окружность. Найти среднюю линию трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус BAC равен 1/3, синус ABD равен 5/9. Решение M AD B C N

Проверка д/з Д/зД/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 1 Задача 2 M AD B C N 15 Решение Средняя линия трапеции равна Для нахождения средней линии надо найти длину основания BC. Используя свойства вписанных и центральных углов окружности, а также радиус описанной окружности R, выразим: Длина Ответ:

Проверка д/з Д/зД/з Решение задач Устная работа Проверка д/з Задача 2 Задача 1 В трапеции ABCD (AB||CD) диагонали AC= a и BD=7/5 a. Найти площадь трапеции, если CAB=2 DBA. Решение A D B C О 1 2

Проверка д/з Д/зД/з Решение задачУстная работа Проверка д/з Задача 2 Задача 1 A D B C О E Решение Пусть DBA=, тогда CAB=2. BE=CD; CE=BD; CEA= DBA= – соответственные при DB||CE и AE секущая. Ответ: Через вершину C проведем CE||DB до пересечения ее с продолжением основания AB в точке E. 2 h – высота ACE и трапеции ABCD. Для ACE применим теорему синусов: 2 1

Устная работаД/зД/зРешение задач Проверка д/з Выход Спасибо за внимание