Золотое сечение Авторский коллектив обучающиеся 9 а класса Руководитель проекта Прийма Т.Б. учитель математики МБОУ СОШ 4 с углубленным изучением отдельных предметов города Батайска Ростовской области 2012 год

«Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый – красоту в истине». Стахов А.П.

Цели проекта: Познание математических закономерностей в мире, определение значения математики в мировой культуре и дополнение системы знаний представлениями о «Золотом Сечении» как гармонии окружающего мира. Познание математических закономерностей в мире, определение значения математики в мировой культуре и дополнение системы знаний представлениями о «Золотом Сечении» как гармонии окружающего мира. Формирование навыков самостоятельной исследовательской деятельности. Формирование навыков самостоятельной исследовательской деятельности. Формирование навыков решения ключевой проблемы в процессе сотрудничества и создания продукта, полезного обществу. Формирование навыков решения ключевой проблемы в процессе сотрудничества и создания продукта, полезного обществу. Обучение работе с информацией и медиасредствами для расширения кругозора и развития творческих способностей. Обучение работе с информацией и медиасредствами для расширения кругозора и развития творческих способностей.

Проблема: Существование гармонии в окружающем нас мире. Существование гармонии в окружающем нас мире. Применение знаний о золотом сечении в исследовании объектов города Батайска. Применение знаний о золотом сечении в исследовании объектов города Батайска.

Задачи проекта: Подобрать литературу по теме «Золотое сечение» Подобрать литературу по теме «Золотое сечение» Провести исследования по следующим направлениям: Провести исследования по следующим направлениям: Ознакомиться с историей золотого сечения Ознакомиться с историей золотого сечения Дать формулировку понятия золотого сечения, рассмотреть алгебраический и геометрический смысл Дать формулировку понятия золотого сечения, рассмотреть алгебраический и геометрический смысл Сформулировать понятие гармонии и математической гармонии Сформулировать понятие гармонии и математической гармонии Исследовать пропорции тела человека по Цейзингу Исследовать пропорции тела человека по Цейзингу Нахождение пропорции тела человека на примере обучающихся МБОУ СОШ 4 г.Батайска Нахождение пропорции тела человека на примере обучающихся МБОУ СОШ 4 г.Батайска Найти подтверждение наличия золотого сечения в природе Найти подтверждение наличия золотого сечения в природе Рассмотреть применение золотого сечения в искусстве (скульптура, живопись, фотография) Рассмотреть применение золотого сечения в искусстве (скульптура, живопись, фотография) Ознакомиться с применением золотого сечения в архитектуре Ознакомиться с применением золотого сечения в архитектуре Исследования школьного двора Исследования школьного двора Анализ объектов архитектуры и скульптуры г.Батайска Анализ объектов архитектуры и скульптуры г.Батайска Выводы по исследуемой теме Выводы по исследуемой теме

История «Золотого сечения» В Древнем Египте существовала «система правил гармонии», основанная на Золотом Сечении. В Древнем Египте существовала «система правил гармонии», основанная на Золотом Сечении. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания. В Древней Греции Золотое Сечение было своеобразным каноном культуры, который пронизывает все сферы науки и искусства. Красота и гармония стали важнейшими категориями познания. В толковании древних греков понятие золотого сечения, и понятие гармонии идентичны. Согласно Пифагору гармония имеет численное выражение, то есть, она связана с концепцией числа. Согласно Пифагору гармония имеет численное выражение, то есть, она связана с концепцией числа. Евклид излагает теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории Золотого Сечения. Евклид излагает теорию Платоновых тел, которая является существенным разделом геометрической теории Золотого Сечения. Теория гармонии Древних

Два главных Платоновых тела, додекаэдр и икосаэдр, основаны на Золотом Сечении. Икосаэдр и додекаэдр

Ряд Фибоначчи С историей золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Каждый член последовательности, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, искусстве, неизменно приходили к ряду Фибоначчи как арифметическому выражению закона золотого деления.

«Золотая Пропорция» - главный эстетический принцип эпохи Средневековья Эпоха Возрождения ассоциируется с именами таких «титанов», как Леонардо да Винчи, Микеланджело, Рафаэль, Николай Коперник, Альберт Дюрер, Лука Пачоли. Имеется много авторитетных свидетельств о том, что именно Леонардо да Винчи( ) был одним из первых, кто ввел сам термин «Золотое Сечение». «Витрувийский человек» - размах вытянутых в сторону рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг. Рисунок и текст иногда называют каноническими пропорциями.

Вклад Кеплера в теорию Золотого Сечения Гениальный астроном Иоганн Кеплер ( ) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания. Гениальный астроном Иоганн Кеплер ( ) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания. Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи: Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи: 1/1; 2/1; 3/2; 5/3 ;8/5; 13/8;…в пределе стремится к золотой пропорции 1/1; 2/1; 3/2; 5/3 ;8/5; 13/8;…в пределе стремится к золотой пропорции

Математическое понимание гармонии «Гармония – соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия» - «Гармония – соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия» - Большая Советская Энциклопедия Математическая гармония - это равенство или соразмерность частей с друг другом и части с целым. Математическая гармония - это равенство или соразмерность частей с друг другом и части с целым. Понятие математической гармонии тесно связано с понятиями пропорции и симметрии. Понятие математической гармонии тесно связано с понятиями пропорции и симметрии.

Понятие «Золотое сечение» a : b = b : c или с : b = b : а Золотое сечение - деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Эта пропорция равна: Золотое сечение в процентах

Дано: отрезок АВ. Построить: золотое сечение отрезка АВ, т.е. точку Е так, чтобы. Построение. Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС=. Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB, и наконец AE=AD. Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ. Построение. Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нем отложим отрезок ВС=. Далее, соединим точки А и С, отложим отрезок CD=CB, и наконец AE=AD. Точка Е является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ. Деление отрезка в золотом отношении Золотое сечение в геометрии

А ВС Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении: Золотой треугольник

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение длины к ширине даёт число φ, называется золотым прямоугольником. Золотой прямоугольник

Пентаграмма Если в пентаграмме провести все диагонали, то в результате получим пятиугольную звезду. Точки пересечения диагоналей в пентаграмме являются точками золотого сечения диагоналей (отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618). При этом эти точки образуют новую пентаграмму FGHKL и пять правильных треугольников (ADC, ADB,EBD, AEC,EBC) Здание военного ведомства США имеет форму пентаграммы и получило название «Пентагон», что значит правильный пятиугольник.

Последовательно отрезая от золотого прямоугольника квадраты и вписывая в каждый по четверти окружности, получаем золотую логарифмическую спираль. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется спираль Архимеда. Золотая спираль

Число является положительным корнем квадратного уравнения: x 2 = x + 1 подставим корень вместо x и разделим на : Если продолжить такую подстановку бесконечное число раз, то получим цепную дробь: Аналогично, если взять корень квадратный из правой и левой частей тождества (1) то получим представление золотой пропорции в «радикалах»: (2) (3) (1) (4) Эти формулы (3) и (4) доставляют «эстетическое наслаждение» и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии… «Золотое сечение» - гармония математики «Золотое сечение» - гармония математики

Вклад Кеплера в теорию Золотого Сечения Гениальный астроном Иоганн Кеплер ( ) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания. Гениальный астроном Иоганн Кеплер ( ) был последовательным приверженцем Золотого Сечения, Платоновых тел и Пифагорейской доктрины о числовой гармонии Мироздания. Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи: Считается, что именно Кеплер обратил внимание на ботаническую закономерность филлотаксиса и установил связь между числами Фибоначчи и золотой пропорцией, доказав, что последовательность отношений соседних чисел Фибоначчи: 1/1; 2/1; 3/2; 5/3 ;8/5; 13/8;…в пределе стремится к золотой пропорции 1/1; 2/1; 3/2; 5/3 ;8/5; 13/8;…в пределе стремится к золотой пропорции

Золотое сечение лист розы Величины отростков и лепестков цикория подчинены правилу золотой пропорции.

Золотая пропорция в теле ящерицы – длина хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38 Золотые пропорции в яйце птицы

У многих бабочек узоры на крыльях, соотношение размеров грудной и брюшной части тела соответствуют золотой пропорции

Золотое сечение в природе Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. Гете называл спираль "кривой жизни". Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Паук плетет паутину спиралеобразно.

Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим ("золотым") спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

Рога и бивни животных развиваются в форме спирали. Бивни слонов и вымерших мамонтов, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спираль.

Математическая эстетика Цейзинга В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что пропорции золотого сечения проявляются в отношении частей тела человека – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения.

Результаты измерений учащихся ФИОРостДлина от талии до пола Отношение 1Александра ,68 2Елена ,68 3Юлия ,65 4Анатолий162991,64 5Иван ,62 6Владимир ,61 Вывод: пропорции тела мальчиков ближе к показателю золотого сечения, чем у девочек, что подтверждает теорию Цейзинга. 7Дмитрий ,64 8Иван ,66 9Дарья ,62 10 Иван ,63

Математические закономерности русских мер

Золотое сечение в живописи и фотографии На живописном полотне существуют четыре точки повышенного внимания. Зрительные центры расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев любой картины и фотографии.

Золотое сечение в скульптуре Венера Милосская Дорифор Поликлета

Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда" Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Васильев «У окна» «Суд Париса» камея Иванов «Явление Христа народу» «Поющий Один» 8 век

Фотографии учащихся МБОУ СОШ 4 Наш герб Цветочная пирамида Крокодил Гена Зимнее дерево Зимняя сказка Воробушки

Фотографии учащихся МБОУ СОШ 4 Тачанка Ростов-город, Ростов-Дон Детская железная дорога Река Дон

Рисунки детей МБОУ СОШ 4 Авторы учащиеся 5 и 6 классов

Золотое сечение в архитектуре Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Пирамида Хеопса

Золотые пропорции Парфенона

Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании Собора Парижской Богоматери Нотр - Дам де Пари

Золотое сечение в архитектуре России Собор Христа Спасителя

Собор на Нерли Смольный собор Собор Вознесения Господня Проект Смольного собора Собор Василия Блаженного Храм Святителя Димитрия

Золотое сечение в архитектуре города Батайска

Символ города Батайска вписывается в «золотой треугольник»

Отношение высоты и ширины составляет 1,67

Золотые пропорции Свято-Троицкого храма г.Батайска

Вечный Огонь Памятник Воинам Освободителям Золотая пропорция Памятника Воинам Освободите лям. Отношение 1,68

Скульптура «Ромео и Джульетта» также вписывается в золотой прямоугольник

Золотое сечение скульптуры проходит перед девушкой, акцентируя внимание на нее взгляде, и усиливая впечатление, что она кого-то ожидает…

Железнодорожный вокзал Золотое сечение центральной части здания ж/д вокзала г.Батайска равно 1,66

МБОУ СОШ 4 с УИОП. Отношение высоты здания к высоте крыльца 1,61 Срез крыльца представляет прямоугольник (отношение сторон 1,55)

Секция ограды школы приближена к золотому прямоугольнику 1,58 Колодец Отношение составляет 1, 7, приближено к золотой пропорции

Гармоничный дизайн школьной клумбы. Растения высажены вблизи точек повышенного внимания (3/8 от краев клумбы).

Дизайн данной клумбы не отвечает пропорциям золотого сечения

В процессе гармонического анализа объектов архитектуры города Батайска установлено, что не все рассматриваемые здания подчиняются принципу золотого сечения. Многие здания, построенные в советское время и современные здания, формирующие лицо нашего города, тяготеют к законам красоты. Наш город имеет свое гармоничное лицо, благодаря своей архитектуре, памятникам, скульптуре… Надеемся, что облик родного города будет приносить эстетическое наслаждение не одному поколению батайчан.

Выводы Понятие «золотое сечение» не изучается в школьном курсе математики, а рассматривается как гуманитарный фон в историческом развитии математики. Понятие «золотое сечение» не изучается в школьном курсе математики, а рассматривается как гуманитарный фон в историческом развитии математики. В данной работе рассмотрены способы нахождения «Золотого сечения», изложены примеры золотой пропорции в природе и теле человека, в архитектуре зданий родного города и школы, в расположении зрительных центров на фотографиях, рисунках учащихся, в дизайне школьных клумб. При общении с проектировщиками и строителями узнали, что при строительстве зданий используются другие формулы. Но мы видим в современной архитектуре гармоничные и красивые сооружения, пропорции которых совпадают с коэффициентом золотого сечения. При общении с проектировщиками и строителями узнали, что при строительстве зданий используются другие формулы. Но мы видим в современной архитектуре гармоничные и красивые сооружения, пропорции которых совпадают с коэффициентом золотого сечения. В своей работе хотели продемонстрировать красоту и широту «Золотого сечения» в реальной жизни. Проведенные исследования доказали, что многое в окружающей природе подчиняется правилу золотого сечения.