Яцкова Дина Ивановна, учитель математики, МОУ СОШ 4 п. Ключи, Камчатский край

ТЕМА УРОКА: «Касательная. Уравнение касательной»

Девиз урока: Плохих идей не бывает Мыслите творчески Рискуйте Не критикуйте

План урока I Организационный момент II Актуализация материала III Подготовка к изучению нового материала IV Изучение нового материала V Закрепление изученного материала VI Подведение итогов урока

Согласны ли вы с утверждением: «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку» II Актуализация материала

1 1 y = -1 x x y y y = cos x -π π π x x y y y = x 2 х = 1 y = 2х - 1 х =π

Цель урока 1) Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций. 2) Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи. 3) Выработка коммуникативных навыков в работе

Ответьте на вопросы: 1) Сформулируйте определение производной. 2) Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х; у = - 0,5х + 2. Почему? III Подготовка к изучению нового материала

3) Отгадайте фамилию учёного f(x) х 2 -3х+4 5tg x2x - 3 АГЖЛНР f / (x)2x2x - 322x словоЛАГРАНЖ

Умеете ли вы дифференцировать? Таблица производных Правила дифференцирования f(x)Cxnxn sin xcos xtg xctg x f / (x)0nx n-1 cos x -sin x

y = f(x), A(x 0,f(x 0 )); M((x 0 +Δx), f(x 0 +Δx)) AM – секущая k сек. = tg β = Угловой коэффициент касательной IV Изучение нового материала

x x y y y = f(х) A A B M M T T < TAM 0, если АМ 0,, если Δх 0 Касательная есть предельное положение секущей при Δх 0

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной в этой точке. k кас. = f / (x 0 ) Геометрический смысл производной

Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f это прямая, проходящая через точку (x 0, f(x 0 )) и имеющая угловой коэффициент f '(х 0 ). Определение касательной

f '(х 1 )>0 f '(х 2 ) = 0 f '(х 3 ) 90º Применение

Эскиз графика функции y = sin x f / (0)= 1, f / (0,5π) = 0, f / (π) = -1 y = x, y = 1, y = -x + π у = sin x

Уравнение касательной y = kx + b k = f / (x 0 ) y = f / (x 0 ) · x + b f(x 0 ) = f / (x 0 ) · x 0 + b b = f(x 0 ) - f / (x 0 ) · x 0 y = f(x 0 ) + f / (x 0 ) · (x - x 0 )

Алгоритм 1. Значение функции в точке касания 2. Общая производная функции 3. Значение производной в точке касания 4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

Подведение итогов Что называется касательной к графику функции в точке? В чём заключается геометрический смысл производной? Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

Решите задачи 1. В каких точках графика касательная к нему а) горизонтальна; б) образует с осью абсцисс острый угол; в) образует с осью абсцисс тупой угол? V Закрепление изученного материала

2. При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком а) равна 0; б) больше 0; в) меньше 0? тупой угол?

3. На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f / (x) в точке x (а, б), 254 (а, б)

Решение опорных задач 1. Если задана точка касания Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2. 2. По ординате точки касания. Составить уравнение касательной в точке Графика с ординатой y 0 = Заданного направления. Написать уравнения касательной к графику y = x 3 – 2x + 7, параллельной прямой у = х. 4. Условия касания графика и прямой. При каких b прямая y = 0,5x + b является касательной к графику функции ?

Самостоятельная работа 1 вариант2 вариант3 вариант (а) 255 (б) 255 (в) (а) 256 (б) 256 (в) (а) 257 (б) 257 (в) 4Прямая у = 7х - 5 параллельна касательной к графику функции у = х 2 + 6х - 8. Найдите абсциссу точки касания. Прямая у = 6х + 8 параллельна касательной к графику функции у = х 2 - 3х + 5. Найдите абсциссу точки касания. Прямая у = 7х + 1 параллельна касательной к графику функции у = х 2 + 8х + 6. Найдите абсциссу точки касания.

Углом пересечения графика функции и прямой l называют угол, под которым в этой же точке прямую пересекает касательная к графику функции. α, β, γ – углы пересечения 259 (а) 259 (а, б), 260 (а) 5. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой.

Контролирующая самостоятельная работа

Подведение итогов урока Что называется касательной к графику функции в точке? В чём заключается геометрический смысл производной? Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке? С какими опорными задачами познакомились? Достигли ли цели урока?

п. 19 (1, 2), 253 (в), 255 (г), 256 (г), 257 (г), 259 (г). Подготовить сообщение о Лейбнице Домашнее задание

Литература Алгебра и начала анализа: Учеб. для 1011 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н.Колмогорова. - М.: Просвещение, Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, Мультимедийный диск фирмы «1С». 1С: Репетитор. Математика (ч. 1) + Варианты ЕГЭ Открытый банк заданий по математике/