y=log 2x-1 (x 2 - 2x-7) L o g l o g 2 2 x x x = c o s 3 0 x Логарифмические уравнения и неравенства. Методы решения

Exit Логарифмы в истории Логарифмы в истории Логарифмы в истории Логарифмы в истории Логарифм Логарифм Логарифм Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмическая функция f(x)=log a x Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства Логарифмические неравенства Логарифмические неравенства Логарифмические неравенства

Открытие логарифмов - еще одна историческая цепочка знаний, которая связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней отношение музыкой. Обращаемся к школе Пифагора (VI-IV вв. до н.э.), открытию в области числовых отношений, связанных с музыкальными звуками. Вся пифагорейская теория музыки основывалась на законах "Пифагора-Архита". 1. Высота тона (частота колебаний f) звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l / f = a / l (а - коэффициент пропорциональности, характеризующий физические свойства струны). 2. Две звучащие струны дают консонанс (приятное созвучие), если их длины относятся, как 1:2, 2:3, 3:4. Пифагорова гамма была несовершенной, так как не позволяла транспонировать (переводить из тональности в тональность) мелодию. И лишь только в 1700 году немецкий органист А.Веркмайстер осуществил смелое и гениальное решение, разделив октаву (геометрически) на двенадцать равных частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело в том, что в основе музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем, которая является иррациональным числом, при нахождении приближенного значения которого используются логарифмы.

Идея логарифма возникла также в Древней Греции. Так, в сочинении "Псамлигт" Архимеда ( гг. до н.э.) мы читаем: "Если будет дан ряд чисел в непрерывной пропорции начиная от 1 и если два его члена перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы, и одним членом меньше против того, насколько удалены оба множителя вместе". Здесь под "непрерывной пропорцией" Архимед разумеет геометрическую прогрессию, которую мы записали бы так: 1, а, а 2... В этих обозначениях правило, сформулированное Архимедом, будет выражено формулой: a m *a n = a m+n. Историческое развитие понятия логарифма завершилось в XVII веке. В 1614-м в Англии были опубликованы математические таблицы для выполнения приближенных вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором был шотландец Дж.Непер ( гг.). В предисловии к своему сочинению Дж.Непер писал: "Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обыкновенно отпугивает многих от изучения математики". Так вслед за изобретением логарифмов и развитием алгебры иррациональных чисел в музыку вошла равномерная темперация (новый двенадцатизвуковой строй).

Что такое логарифм? log a b=c log a b=c a c =b Основное логарифмическое тождество

Основные свойства логарифмов 1) Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей: log a N 1 ·N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a 1, N1 > 0, N2 > 0). Замечание. Если N1·N2 > 0, тогда свойство примет вид log a N 1 ·N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a 1, N1·N2 > 0). 2) Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя (a > 0, a 1, N1 > 0, N2 > 0). Замечание. Если, (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство примет вид (a > 0, a 1, N1N2 > 0).

3) Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа: log a N k = k log a N (a > 0, a 1, N > 0). Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то log a N 2s = 2s log a |N| (a > 0, a 1, N 0). 4) Формула перехода к другому основанию: (a > 0, a 1, c > 0, c 1, b > 0), в частности, если b = c, получим (a > 0, a 1, b > 0, b 1).

5) Из вышеуказанных свойств вытекают следующие формулы:

x y a y=log a x y=a x y=x

1.Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел. 2.Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел. 3.При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log a x 1 log a x 1 >log a x 2 ). 4.log a 1 = 0 и log a a = 1 (a > 0, a 1). 5.Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+ ), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x Î (0;1) и отрицательна при x Î (1;+ ). 6.Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) - выпукла вниз.

x y y=log a x 1 1 a y x 1 a a>1 0

2) log a f(x) = log a g(x) Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифмические уравнения log a x = b. 1) Простейшее логарифмическое уравнение Решением является x=a b f(x)= g(x), g(x)>0, f(x)>0. f(x)= g(x), g(x)>0, f(x)= g(x), f(x)>0.

4) log h(x) f(x) = log h(x) g(x) f(x) > 0, h(x) 1, h(x) > 0, f(x) = g(x), g(x) > 0. h(x) 1, h(x) > 0, f(x) = g(x), Потеря решений при неравносильных переходах log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x)

Методы решения логарифмических уравнений Использование определения логарифма Использование определения логарифма log a b = c b = a c Пример log 2 (5 + 3log 2 (x - 3)) = 3 log 2 (5 + 3log 2 (x - 3)) = 3 Решение Решение 5+3log 2 (x-3)=2 3 log 2 (x - 3) = 1 x=5

Методы решения логарифмических уравнений Использование свойств логарифма Использование свойств логарифма log a b = c b = a c Пример log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24), log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (x + 24), Решение Решение О.Д.З.: x>0, x(x+3)=x+24 x 2 + 2x - 24 = 0 x={-6;4} x(x+3)=x+24 x 2 + 2x - 24 = 0 x={-6;4} x>0 x>0 x=4 x=4

Методы решения логарифмических уравнений Метод подстановки Метод подстановки f(log a x)=0 t=log a x f(t)=0 f(t)=0Пример lg 2 x - 3lgx + 2 = 0 lg 2 x - 3lgx + 2 = 0Решение lg x = t lgx=1 t 2 -3t+2=0 lgx=2 x={10;100}

Пример 5 lg x = 25 5 lgx = 50 - x lg5 5 lgx = lgx 5 lg x = 25 x=100 x=100

Методы решения логарифмических уравнений Уравнения, содержащие выражения вида Уравнения, содержащие выражения видаПример Решение Решение log 2 (x+2)=t, t 2 -t-2=0.

Методы решения логарифмических уравнений Метод оценки левой и правой частей Метод оценки левой и правой частейПример log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. Решение Решение 1) 2x – x = – (x 2 – 2x – 15) = –((x 2 – 2x + 1) –1 –15)= = (16 – (x – 1) 2 ) 16 log 2 (2x – x ) 4. 2) x 2 – 2x + 5 = (x 2 – 2x + 1) – = (x – 1) ; log 2 (2x – x )=4, x 2 – 2x + 5 =4. x=1

Методы решения логарифмических уравнений Использование монотонности функций. Подбор корней. Использование монотонности функций. Подбор корней.Пример log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. log 2 (2x – x ) = x 2 – 2x + 5. Решение2x–x 2 +15=t, t>0 Решение2x–x 2 +15=t, t>0 x 2 –2x+5=20–t log 2 t=20-t y=log 2 t – возрастающая, y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x 2 +15=16, находим, что x=1

1) log a f(x) > log a g(x) Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Логарифмические неравенства f(x)>g(x)>0, a>

3) log h(x) f(x)>log h(x) g(x) (h(x)-1)(f(x)-g(x))>0, h(x)>0, f(x)>0, g(x)>0. 4) f(log a x)>0 t=log a x, f(t)>0.

Методы решения логарифмических неравенств с переменным основанием Быстрое избавление от логарифмов Пример log 2x (x 2 -5x+6)0.

Правило знаков Очевидно, что lg x, как и log a x по любому основанию a > 1, имеет тот же знак, что и число x – 1. В более общем случае от логарифма по произвольному основанию a можно перейти к основанию 10: Таким образом, знак величины log a x совпадает со знаком числа (x – 1)/(a – 1) или (x – 1)(a – 1). 1

Пример log 2x (x-4) log x-1 (6-x)0, x>0, x1/2, x>1,x-11. x (4;5) (5;6)