Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям. Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.

Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы: классификация алгебраических кривых 3-го порядка и биномиальное разложение произвольной (не обязательно целой) степени в 1676 году, с которого начинается ньютоновская теория бесконечных рядов нового и мощнейшего инструмента анализа. Разложение в ряд Ньютон считал основным и общим методом анализа функций, и в этом деле достиг вершин мастерства. Он использовал ряды для вычисления таблиц, решения уравнений (в том числе дифференциальных), исследования поведения функций.

В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном, хотя эта формула входит в школьный курс алгебры. В рассказе Артура Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти: «Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая будущность». Знаменита цитата из «Мастера и Маргариты» Михаила Афанасьевича Булгакова: «Подумаешь, бином Ньютона!». Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик Владимир Андреевич Успенский

Бином Ньютона - это название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно: (1), где n целое положительное число, а и b какие угодно числа. Частными случаями бинома Ньютона при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b (формулы сокращенного умножения): (а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2, (а + b) 3 = а 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; при n = 4 получают (а + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 и т.д. Коэффициенты формулы (или разложения) бинома Ньютона называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при a n-k b k обозначается так: или. Последнее обозначение связано с комбинаторикой: есть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k.

Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2 n. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а+b) n равна определённому коэффициенту в разложении (а+b) n+1 ; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а+b) 3 дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а+b) 4. Вообще:

Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы, которую называют арифметическим треугольником или треугольником Паскаля или треугольная числовая таблица для составления биномиальных коэффициентов. По бокам треугольника Паскаля стоят единицы, внутри суммы двух верхних чисел.

Формула бинома Ньютона указала возможность распространения разложения на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем в 1826 г). В этом более общем случае формула бинома Ньютона начинается так же, как формула (1); коэффициентом при a n-k b k служит выражение, которое, в случае целого положительного n, обращается в нуль при всяком k > n, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| < |а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) n. Формула бинома Ньютона играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).