Применение производной в экономике

Введение Производная функции играет важную роль в естественно-научных и инженерно- технических исследованиях. Для многих отраслей науки она стала важным орудием количественного расчета, методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Производная является мощным средством решения прикладных задач.

Экономический смысл производной Пусть функция V = V(t) выражает количество произведенной продукции V за время t. Найдем производительность труда в момент времени t 0. За период времени от t 0 до t o + Δ t количество произведенной продукции изменится от значения V o =V(t o ) до значения V o + Δ V = V(t o + Δ t); тогда средняя производительность труда за этот период времени П ср.= Δ V/ Δ t. Очевидно, что производительность труда в момент t o можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от t 0 до t o+Δ t при Δ t 0, т.е. П(t)=. Таким образом, экономический смысл производной заключается в том, что производная объема произведенной продукции по времени V(t) есть производительность труда в момент t o : П (t) = V (t)

Экономический смысл производной Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x. Пусть Δ x - прирост продукции, тогда Δ y – приращение издержек производства и Δ y / Δ x - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная y = выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции: J (x) = y (x)

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и другие предельные величины. Предельные величины характеризуют не состояние, а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Эластичность функции Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач часто используется понятие эластичности функции. Определение: Эластичностью функции Ex( y ) называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению переменной x при Δx 0: Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y=f(x) при изменении независимой переменной x на 1%.

Задачи 1. Зависимость между издержками производства y (ден. ед.) и объемом выпускаемой продукции x (ед.) выражается функцией. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции, равном 10 ед. Решение: Функция средних издержек выражается отношением Y 1 = y/x =, Y 1 (10) = 50-0,05100 = 45 (ден.ед.). Функция предельных издержек выражается производной, y(10) = 50-0,15100 = 35 (ден. ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства, составляют 35 дн.ед.

Задачи Зависимость между стоимостью единицы продукции y (тыс.руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией y=-0,5x+80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн.руб. Решение: По формуле эластичности себестоимости E x (y) =(-0,5x)/(-0,5x+80) = x/(x-160). При x = 60 E x=60 (y) = -0,6, т.е. При выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%.

Задачи 3. Объем продукции V, произведенный бригадой рабочих, задается уравнением, 1 t 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. 1 t 8, где t – рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Решение: Производительность труда выражается формулой, П(t) = (ед./ч). В заданные моменты времени t 1 =1 и t 2 = П (t) = V (t), П(t) = (ед./ч). В заданные моменты времени t 1 =1 и t 2 = 8-1 = 7 имеем: П(1) = 112,5 (ед.ч) и П(7) = 82,5 (ед.ч). Итак, к концу рабочего дя производительность существенно снижается.

Задачи 4. Опытным путем установлены функции спроса q=(p+8)/(p+2) и предложения s = p+0,5, где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, p - цена товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены; в) изменение дохода при увеличении цены на 5%от равновесной. а) Равновесная цена определяется из условия: q = s, т.е. (p+8)/(p+2) = p+0,5, откуда p = 2 – равновесная цена Решение: а) Равновесная цена определяется из условия: q = s, т.е. (p+8)/(p+2) = p+0,5, откуда p = 2 – равновесная цена б) Найдем эластичность по спросу и предложению: Ep(q) = (6p)/(p+2) Ep=2(q) =-0,3; 0,8. Таким образом, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%. б) Найдем эластичность по спросу и предложению: Ep(q) = (6p)/(p+2)(p+8); Ep(s) = 2p/(2p+1). Для p = 2 имеем: Ep=2(q) =-0,3; Ep=2(s) = 0,8. Таким образом, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%. в) При увеличении цены на 5% от равновесной спрос уменьшится на 50,3 = 1,5%, следовательно, доход возрастет на 3,5%. в) При увеличении цены на 5% от равновесной спрос уменьшится на 50,3 = 1,5%, следовательно, доход возрастет на 3,5%.