Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. (В14 из ЕГЭ) Усовершенствование знаний, умений и навыков при работе с презентацией. Интегрированный урок по алгебре и началам анализа и информатике.

«… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке: находим ООФ и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [а,в]; находим критические точки, т.е. f'(x)=0; вычислим значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [а,в]; из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значение функции.

Виды функций: Целые рациональные Дробно-рациональные Иррациональные Тригонометрические Показательные Логарифмические Решение задач методом математического моделирования

1. Целые рациональные функции (Выполнили Москалев К. и Сулимов И.)

Найдём наименьшее значение функции y=3x 2 -2x 3 +1 на отрезке [-4;0]. Решение: 1.ООФ: х R 2.Найдем производную: у(х)=(3х 2 )`- (2х 3 )`+1` у(х)=6х-6х 2

3.Найдём критические точки у(х)=0 т.е. 6х-6х 2 =0;6х 2 -6х=0; 6х(х-1)=0 6х=0 или х-1=0 х=0 х=1 0 ϵ [-4;0] 1 ϵ [-4;0]

4.Вычислим значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [-4;0] y(-4)=3. (-4) 2 -2(-4) 3 +1= =113 y(0)= =1 Наименьшее значение функции-1 Ответ:1

Самостоятельная работа 1-найдите наибольшее значение функции y=x 3 +5x 2 +3x на отрезке[-4;-1]

РЕШЕНИЕ 1.ООФ: х R 2.у(х)=(x 3 )`+(5x 2 )`+(3x)` у(х)=3x 2 +10x+3 3.у(х)=0 т.е. 3x 2 +10x+3=0 D=b 2 -4ac= =100-36=64 x 1 = x 2 =-3

4.y(-1)=(-1) 3 +5(-1) 2 +3(-1)=1 y(-3)=(-3) 3 +5(-3) 2 +3(-3)= =9 y(-4)=(-4) 3 +5(-4) 2 +3(-4)= =5 Наибольшее значение функции 9. Ответ:9

Домашнее задание Найдите наибольшее значение функции y=4x 2 -4x-x 3 на отрезке [1;3]

2. Дробно-рациональные функции. (Выполнили Зорко М. и Жадько Д.)

Найдите наименьшее значение функции. На отрезке [2;8]

Находим допустимую область значения,производную от y и приравниваем к 0 C учетом ОДЗ: х-4=0 или х +4=0 х=4 х=-4

Пример для самостоятельной работы.

Найдите наибольшее значение функции На отрезке [-14;-1].

x-7=0 или х+7=0 x=7 x=-7

Находим наибольшее значение функции y(x)

Пример для домашней работы. Найдите наименьшее значение функции.

3.Иррациональные функции. (Выполнили Ефимова А. и Евлашкина А.)

На отрезке [ 1;4 ]

Найдите наименьшее значение функции На отрезке [ 1;9 ]

4.Тригонометрические функции. (Выполнили Чумакова В. И Симоненко А.)

Найти наибольшее значение функции на отрезке:

Т.к. cosx [-1;1] О.Д.З : x R cosx [-1;1]

0 _

0 _

Домашнее задание: Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

5.Показательная функция.(I) (Выполнила Агапова В.)

Найти наибольшее значение выражения на отрезке [5;15]: У=(x-11)е 12-x +13 [5;15]

Домашняя работа

5.Показательная функция (II) Различные способы исследования показательной функции на наибольшее и наименьшее значение. (Выполнила Лидяева Е.)

Задание: Найти наименьшее значение функции y=2 x 2 -8x

I способ решения :

II способ решения:

Подсчитаем знаки

III способ решения:

Найдём критические точки

Подсчитаем знаки

Домашнее задание Найти наибольшее значение функции

6.Логарифмическая функция. (Выполнили Тишкин И. и Щеблетов С.)

ОДЗ: х>0 y`=(7-7x+ln(7x))` y`=-7+ y`=0 =0

y( ) 0,3 y( )= = 6 y max = 6 Ответ:6

ОДЗ: x>0 y`=(x 2 -2lnx+1)` y`=2x- 2x- =0 2x 2 -2 x 2x 2 -2=0 2x 2 =2 x 2 =1 x=-1 или x=1 x0 x0 x0 x0 -1 не подходит т.к. X>0 1 [0,3; 3,3]

y(1)=1 2 -2ln1+1= =2 y(0,3)=0,3 2 -2ln 3 +1=0,09+2+1=3,09 y(3,3)=3,3 2 -2ln 3 3+1=10,89-2+1=9,89 y min =y(1)=2 Ответ:2

Найдите наименьшее значение функции y=5x-ln(x+5) 5 на отрезке [-4,5; 1].

8.Решение задач методом математического моделирования.(I) (Выполнил Иванов С.)

Задача Найти размеры автомобильной стоянки прямоугольной формы, имеющую наибольшую площадь.

AB DC X y P ABCD =200 М, AD=x DC=y Решение P ABDC =(x+y) 2 = 200 x+y=100, отсюда y=100-x, 0

Найдём производную: S | (x)=(100x-x 2 ) | =100-2x. Найдём наибольшее значение функции S(x)=100x-x 2 на интервале (0;100) S(x)=0 Найдём критические точки функции (f(x)=0): 100-2x=0 x=50

Найдём значение функции на концах отрезка и в критических точках: S(0)=0 S(50)=2500 S(100)=0 Значит, стороны стоянки 50м и 50м.

8.Решение задач методом математического моделирования.(II) (Выполнил Бодничук В.)

Задача: Точка Р означает местонахождение буровой вышки, прямая l – шоссе, В – населенный пункт, РА=9км, АВ=15км. РМ велосипедист проехал со скоростью 8км/ч, а МВ со скоростью 10км/ч. Нужно найти расстояние АМ и МВ

Решение: Пусть t – время движения курьера из точки Р в точку В. Нужно найти t наименьшее. Обозначим АМ через х, где 0х15, так как 15 эта вся длинна прямой АВ.

По рисунку мы видим что прямоугольник (РАM) прямоугольный, Т.е по теореме Пифагора можно найти Этот путь велосипедист проезжает со скоростью 8км/ч. Т.е. время которое он затратил на этот путь равно Это время движения по отрезку дороги РМ Это время движения по отрезку дороги РМ

МВ=15-х, этот путь велосипедист проезжает со скоростью 10км/ч На этот отрезок пути велосипедист затратил времени Т.е.

Суммарное время движения велосипедиста равно Найдем производную:

Найдем критические точки, т.е. t =0 Значения х принадлежит отрезку [0;15]

Найдем значение t от 0, 12, 15 Т.е. АМ=12 км. МВ=15-12=3 км. Ответ: АМ=12 км. а МВ=3 км. - наименьшее значение функции

Домашнее задание Площадь прямоугольного участка земли 64 см 2. Каковы его стороны, если периметр наименьший?

Оценка самого себя. 1) На уроке мне было интересно: o да o нет o затрудняюсь ответить 2) Я присутствовал в хорошем настроении: o да o нет o затрудняюсь ответить 3) На уроке я больше люблю работать: o с помощью учителя o самостоятельно o с помощью одноклассника 4) Мне нравится выполнять задания: o простые и понятные o сложные и интересные o творческие и оригинальные 5) Большую часть времени на уроке: o активная работа o думаю о своем o ждал окончания урока 6)Темп работы на уроке был для меня: o слишком быстрым o нормальным o слишком медленным

3 пути ведут к знанию: Путь размышления самый благородный. Путь подражания – легкий. Путь опыта - горький