з задачи для активного обучения

Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения есть процесс изобретательства. Многообразие текстовых задач Задачи на движение: а) движение по прямой; б) движение по реке; в) движение по окружности. Задачи на работу и наполнение резервуара. Задачи на смеси и сплавы. Задачи на многократные переливания. Задачи на проценты.

Этапы решения задачи: 1) этап составления математической модели (этап формализации) выбор неизвестного, обозначаемого, как правило, через x (или нескольких неизвестных, обозначаемых x,y,z...), и составление уравнения (или системы уравнений), связывающего некоторой зависимостью выбранное неизвестное с величинами, заданными условием задачи; 2) этап работы с составленной моделью (этап внутримодельного решения) решение полученного уравнения (или системы уравнений); 3) этап интерпретации отбор решений по смыслу задачи.

Задачи на движение. В задачах на движение полезно составить иллюстративный чертеж. Этот чертеж следует делать таким, чтобы на нем была видна динамика движения со всеми характерными моментами - встречами, остановками и поворотами. Хороший чертеж позволяет понять содержание задачи, не заглядывая в ее текст. Допущения, которые обычно принимаются (если не оговорено противное) в условиях задач на движение, состоят в следующем: а) движение на отдельных участках считается равномерным; при этом пройденный путь определяется по формуле S = Vt б) повороты движущихся тел принимаются мгновенными, т.е. происходят без затрат времени; скорость при этом также меняется мгновенно.

Войсковая колонна имеет длину 1 км. Связной, выехав из начала колонны, передал пакет в конец колонны и вернулся к началу. Колонна за это время прошла 3 км. Какой путь проехал связной? Войсковая колонна имеет длину 1 км. Связной, выехав из начала колонны, передал пакет в конец колонны и вернулся к началу. Колонна за это время прошла 3 км. Какой путь проехал связной? Слайд

Колонна

а) Движение навстречу друг другу. б) Движение вдогонку. 1км Пусть скорость движения связного а скорость движения колонны

а) Движение навстречу друг другу: Скорость сближения: Время, через которое встретится связной с колонной: б) Движение вдогонку: Скорость сближения: Время, через которое встретится связной с колонной: Время движения связного: Время движения колонны: Решение:

Уравнение:

От пристани А вниз по течению реки к пристани В отплыл плот. Одновременно из В отплыл в А катер и через 25 минут встретил плот. После прибытия в А катер сразу развернулся и прибыл в В вместе с плотом. Больше или меньше часа заняло плавание? слайд

В А

Пусть собственная скорость катера:;скорость течения: тогда скорость катера против течения равна а по течению: Скорость плота равна Путь. плот катер S C A B

Подставим равенства (*), (**) в формулу:

В 12 часов часовая и минутная стрелки часов совпадают. Когда они совпадут в следующий раз? просмотр

Решение: Пусть длина окружности циферблата метров. Минутная стрелка движется со скоростью а часовая стрелка движется со скоростью За времяминутная стрелка прошла путь а часовая -. За данное время минутная стрелка прошла путь на больше, чем часовая. Составим математическую модель :

Задачи на работу и наполнение резервуара Задачи, в которых кто-либо выполняет работу, или задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров решаются аналогично задачам на движение. Работа (объем резервуара) играет роль расстояния. Производительность объекта – скорости. Допущения: в таких задачах объем всей работы (резервуара) принимается за единицу – 1. Производительность труда V – величина работы, выполняемая за единицу времени:

Резервуар снабжается водой по пяти трубам. Первая труба наполняет резервуар за 40 минут; вторая, третья и четвертая, работая одновременно, - за 10 минут; вторая, третья и пятая – за 20 минут и, наконец, пятая и четвертая – за 30 минут. За сколько времени наполняют резервуар все пять труб при одновременной работе?

Решение I труба II труба III труба IV труба V труба Время наполнения резервуара (мин.) 40 y z n m Производительность (резер. /мин.)

Составим и решим систему:

Задачи на смеси и сплавы, многократные переливания. Основные допущения, как правило, принимаемые в задачах подобного рода, состоят в следующем: а) все получающиеся сплавы или смеси однородны; б) при слиянии двух растворов, имеющих объёмы V 1 и V 2, получается смесь, объём которой равен V 1 +V 2, т.е. V= V 1 +V 2, Объёмным процентным содержанием компоненты А называется величина: p A =c A ·100%, т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах. Отношение объема чистой компоненты (V A ) в растворе ко всему объему смеси (V): cA=cA==; называется объёмной концентрацией этой компоненты.

Каждый из двух сплавов состоит из вещества А и B. Первый сплав содержит 20 % вещества А, а второй – 40 % вещества B. Некоторое кол-во первого сплава и вдвое меньшее по массе кол-во второго сплава сплавили с 5 кг чистого вещества А и 3 кг чистого вещества B. В результате %-ое содержание вещества А в новом сплаве стало больше %-ого содержания вещества В во втором сплаве на 10 %. Найти массу нового сплава.

5 кг чистое вещество А 3 кг чистое вещество В 20% А 40% B 1 сплав 2 сплав Новый сплав ?

Решение: Пусть масса 1 сплава с кг, тогда 2 сплава- кг. Масса вещества А в 1 сплаве: 0,2с кг. Масса вещества В в 1 сплаве: 0,8с кг. Масса вещества А во 2 сплаве: 0,3с кг. Масса вещества В во 2 сплаве: 0,2с кг. Масса 2 сплава: 0,3с +0,2с=0,5с (кг), значит % содержание вещества В во 2 сплаве: ·100%=40% По условию известно, что · 100%>40% на 10%, В новом сплаве вещества А: 0,2с+0,3с+5=0,5с+5. Масса нового сплава: с+0,5с+8=1,5с+8. Процентное содержание вещества А в новом сплаве: ·100% 0,5с получили уравнение:

Уравнение ·100=40+10; =; 1,5c+8=c+10; 0,5c=2; c=4 ; Если с=4, то 1,5c+8=1,5·4+8=14; Ответ: 14кг.

В сосуде, объем которого равен V л содержится p%-ый раствор кислоты. В сосуд доливается а л воды, смесь тщательно перемешивают, а затем отливают а л раствора. Эта процедура повторяется n раз. По какому закону меняется концентрация кислоты в сосуде?

Сосуд, объёмом V л В данном сосуде находится p%-ый раствор кислоты Вода а л смеси а л воды Эта процедура повторяется n раз

·V·V·= ·(1-) - c1=c1= )c2=c2= )2)2 Проделывая ту же процедуру n раз, убеждаемся что с n = · (1-)n)n )· Процедура Объём кислотыКонцентрация раствора 1.Долили а л воды Отлили а л раствора 2.Долили а л воды Отлили а л раствора n Таблица ·V·(1-)-·(1-)·= = (1-)2)2 ==

с n=с n= · (1-)n)n

К 9 литрам водного раствора кислоты добавили 3 литра чистой воды. Смесь тщательно перемешали, а затем такое же количество, т.е. 3 литра, отлили. Операцию повторили трижды, после чего концентрация кислоты составила 27 %. Какова исходная концентрация кислоты в растворе?

. Ответ: 64%. Дано:Решение: а=3 л; V=9 л; n =3; с 3 =0,27 Найти р-? с3=с3=· (1-)3;)3; р=====64%

Мне приходится делить все время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. А.Энштейн