« Мыслить последовательно, судить доказательно, опровергать неправильные выводы должен уметь всякий : физик и поэт, тракторист и химик ». Э. Кольман.

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. В. П. Ермаков ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА Преподаватель : Трофименко. М. В.

Чтобы найти на отрезке наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно: вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка; из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Перевести задачу на язык функций 1. выбрать удобный параметр ( х ), через который интересующую нас величину выразить как функцию f(x); 2. средствами анализа найти наибольшее и наименьшее значение этой функции на некотором промежутке ; 3. выяснить, какой практический смысл ( в терминах первоначальной задачи ) имеет полученный ( на языке функций ) результат.

основные этапы, при решении задач прикладного характера: I. формализация ; II. решение полученной математической задачи ; III. интерпретация найденного решения.

Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки ( считая шоссе прямолинейным ). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км / ч, а по шоссе 10 км / ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь пункта ? Задача:

Анализ задачи: На каком расстоянии находится буровая вышка от ближайшей точки шоссе ? На каком расстоянии находятся друг от друга ближайшая точка от буровой вышки и пункт, куда надо отправить курьера ? Известна ли скорость курьера на велосипеде по полю ? Известна ли скорость курьера на машине по шоссе ? Известно ли, к какой точке шоссе надо ехать, чтобы достичь нужный пункт в кратчайшее время ?

Модель задачи в виде схематического рисунка: Р - буровая вышка ; В – населенный пункт ; l – шоссе ; РМВ – маршрут следования курьера.

Постоянные величины – РА, АВ, v п, v ш. Переменные величины - АМ, МВ, РМ. Исследуемая величина – время, за которое курьеру надо доехать до нужного пункта. РА =9 км, АВ =15 км. v п = 8 км / ч, v ш =10 км / ч.

Решение задачи: O 1. Пусть x – расстояние АМ, 0x15; O 2. Из прямоугольного треугольника РАМ выражаем : O 3. путь S 1 ( по полю ), который курьер проходит со скоростью v = 8 км / ч, а путь S 2 ( по шоссе ) – со скоростью v=10 км / ч.

O 4. Путь S 1 за время путь S 2 за время время, затраченное на путь S 1 и S 2,

O Находим производную функции : O Находим критические точки :

O Находим значение функции в точках : O функция достигает наименьшего значения в точке Ответ : Курьеру надо ехать в точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от шоссе, чтобы в кратчайшее время достичь населенного пункта

Самостоятельная работа Решите задачу : Вариант 1. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки берега А. Пассажир лодки желает достигнуть села « В », находящегося на берегу на расстоянии 5 км от А. Лодка проплывает по 4 км / ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села « В » в кратчайшее время ?

Решите задачу : Вариант 2. Человек, гуляющей в лесу, находится в 5 км от прямолинейной дороги и в 13 км от дома, стоящего у дороги. Скорость его передвижения в лесу 3 км / ч, а по дороге 5 км / ч. Найдите наименьшее время, за которое он сможет прийти домой.

«Для меня было сложно…» 1) 2) 3) 4) 5)