Цели и задачи урока: выработать умение применять квадратные уравнения для решения алгебраических и геометрических задач; продолжить формирование практических и теоретических умений и навыков по теме «Квадратные уравнения» Фомина Надежда Михайловна

1). Назовите коэффициенты квадратного уравнения: а) 2х 2 -х+3=0; б) 4х+3х 2 -1=0; в) -7х+х 2 -0,5=0; г) 0,7-0,5х-х 2 =0; д) х х=0; е) 5х 2 =7х+24; ж) 12х=х 2 - 4; з) 6х 2 +7х=0; и) х 2 +5=0; к) 7,2х 2 =4; л) 2х 2 =0; м) х(5-х)=0. 2). Укажите среди данных уравнений приведенные квадратные уравнения.

Задача. Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 552, а их сумма равна 47. Найдите эти числа. Решим арифметическим способом Решение. Разделим сумму чисел на два. 47 :2 = 23,5. Поставим точку с этой координатой на числовую прямую. _______23__23,5__24___________ Это число заключено между целыми натуральными числами 23 и 24. Их сумма равна 47. Проверим, действительно ли произведение их равно 552, 23 * 24 =552. Ответ: 23 и 24.

А) На гербе города Саратова изображена рыба. Посчитайте количество букв в названии и прибавьте к этому числу 1. Полученное число будет первым коэффициентом. Ответ: Стерлядь, 8+1=9, а=9. Б) В дате образования поселка Духовницкое сложите цифры и к сумме прибавьте 7. Полученное число будет вторым коэффициентом. Ответ: 1778 г., =23, 23+7, в=30. В) Наше село стоит на великой русской реке. Посчитайте количество букв в названии и возведите это число в квадрат. Полученное число будет третьим коэффициентом. Ответ: Волга, 5, 5 2 =25, с=25. Все коэффициенты положительные числа. Составьте квадратное уравнение, решите его, найдите сумму и произведение корней этого уравнения. Ответ: 9у 2 +30у+25=0; D=0, у 1,2 = -15/9; у 1 +у 2 = -15/9 + (-15/9)= -30/9= - 10/3; у*у = -15/9 * (-15/9)=225/81 =25/9.

Многие задачи алгебры, геометрии, физики, техники приводят к необходимости решения квадратных уравнений. Мы с вами должны научиться проводить анализ задачи, вводить неизвестные величины, находить зависимость между данными задачи и неизвестными величинами.

Составим схему решения задач 1.Анализ условия 2.Выделение главных ситуаций 3.Введение неизвестных величин 4.Установление зависимости между данными задачи и неизвестными величинами 5.Составление уравнения 6.Решение уравнения 7.Запись ответа Если в уравнении дискриминант положителен, решениями задачи могут быть оба корня уравнения. Иногда бывает, что по смыслу задачи ей удовлетворяет лишь один из корней квадратного уравнения.

Задача1. Произведение двух натуральных чисел равно 84. Одно из чисел на 5 больше другого. Найти эти числа.

Пусть меньшее из данных чисел равно х, тогда большее число равно х+5. По условию произведение этих чисел равно 84. Первое число Второе число Произведение х х Составим уравнение

х(х+5)=84.. D=361=19 2, х 1 = 7; х 2 = -12. Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее число равно 7, а большее число равно 7+5=12. Ответ: 7 и 12.

Рассмотрим задачу с геометрическим содержанием, для решения которой, применяется формула площади треугольника. Задача 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см 2.

Решение. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Длины катетов неизвестны. Площадь равна 30 см 2. Пусть х см-длина одного катета, (х+7) см- длина второго катета. Используя формулу площади треугольника составим уравнение: х(х+7)/2=30.

Решим уравнение: х 2 +7х=60, х 2 +7х-60=0, D=289, х 1 =-12; х 2 =5. Так как длина отрезка величина положительная, то только х=5 удовлетворяет условию задачи. Найдем длину второго катета: 5+7=12 см. Ответ: 5см и 12 см.

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Решение. Первое число Второе число Произведение х х Составим уравнение х(х+6)=187. Решим его: х 2 +6х-187=0. D=784, х=11, х=-17. Второй корень по смыслу задачи не подходит, т.к. даны натуральные числа. Значит меньшее число равно 11. Второе число равно 11+6=17. Ответ: 11 и 17.

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 см 2.

Решение. (х(23-х)):2=60. D=49, х 1 =8, х 2 =15. Ответ: 8 и 15.

Задача 4 Цветок лотоса возвышался над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.

Решение. Пусть отрезки АВ и АС изображают лотос в двух положениях. Если АD = х глубина озера, то ВD = 1/2, АС = х+1/2. Составим уравнение х = (х + 1/2) 2, Решим уравнение х = х 2 +2*1/2х + (1/2) 2, х х 2 –х -1/4 =0, х=3 ¾. Ответ: глубина озера 3 3/4 фута.