Перестановки

Задача 1. Антону, Борису и Виктору повезло, и они купили 3 билета на футбол на 1,2 и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами мальчики могут занять эти места?

Решение. Составим все возможные комбинации расположения мальчиков. 1место2место3место АБВ АВБ БАВ БВА ВАБ ВБА Возможно всего 6 таких комбинаций. Они отличаются друг от друга только порядком расположения в них элементов

Определение. Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.

При формировании перестановки из n элементов первый элемент можно выбрать n способами, после чего второй элемент (n - 1) способами(так как один элемент уже выбран), после чего третий элемент (n - 2) способами и так далее. Всего получаем n (n - 1) (n- 2) (n - 3) … 2 1 перестановок.

Произведение натуральных чисел от 1 до n в математике называется факториалом числа n и обозначается n! n! = … (n- 2) (n - 1) n

Например, 4! = = 24 6! = = 720 Свойства факториала: (n +1)! = (n + 1) n! 0! = 1

P n =n! (пэ из эн). P n - перестановки из n элементов

Задача 2. Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в 4-х местной каюте?

Решение. Число различных способов равно числу перестановок из четырёх элементов. P 4 =4! = = 24 Ответ. 4 способами.

Задача 3. Сколькими способами можно разместить 5 человек на одной скамейке?

Решение. Число различных способов равно числу перестановок из пяти элементов. P 5 =5! = =120 Ответ. 120 способами.

Задача 4. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом из этих чисел все цифры различны?

Решение. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 можно получить P 5 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться с цифры 0. Таких перестановок P 4. P 5 =5! = =120 P 4 =4! = = 24 Значит искомое число пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить P 5 - P 4 = 120 – 24 = 96 способами. Ответ. 96 способами.

Задача 5. Ольга помнит, что номер телефона подруги оканчивается цифрами 5, 7, 6, но забыла в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придётся перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Решение. Число различных вариантов набора трёх последних цифр равно числу перестановок из трёх элементов. P 3 =3! = = 6 Ответ. 6 вариантов.

Задача 6. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение. Сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не девять, а шесть книг. Это можно сделать P 6 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить P 4 перестановок учебников. Значит искомое число способов расположения книг на полке равно произведению P 6 P 4. P 6 P 4 = 6! 4! = = Ответ способами.

Домашнее задание. 1.Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках? 2. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке? 3.Делится ли число 30! На 90?