Изучена данная тема, Пройдена теории схема, Вы много новых формул узнали, Задачи с прогрессией решали. И вот в последний урок Нас поведет Красивый лозунг ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия d = 3 – 2 арифметическая прогрессия d = – 2 геометрическая прогрессия q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия q = 2 последовательность чисел

Закончился ХХ век, а вот термин прогрессия был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – движение вперед. Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая, которую мы приводим в вольной передаче.

Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

Решение: Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: а 1 –Доля первого – x, а 2 –Доля второго – x+y, а 3 –Доля третьего – x+2y, а 4 –Доля четвертого – x+3y, а 5 –Доля пятого – x+4у. На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

1) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а 1 = 5 d = 3 Найти: а 6 ; а 10. Решение: используя формулу а n = а 1 +( n -1) d а 6 = а 1 +5 d = = 20 а 10 = а 1 +9 d = = 32 Ответ: 20; 32 Решение

2)Дано: (b n ) геометрическая прогрессия b 1 = 5 q = 3 Найти: b 3 ; b 5. Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 3 =b 1 q 2 = =5. 9=45 b 5 =b 1 q 4 = =5. 81=405 Ответ:45; 405. Решение

3) Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а 4 = 11 d = 2 Найти: а 1. Решение: используя формулу а n = а 1 + ( n – 1) d а 4 = а 1 +3 d ; а 1 = а 4 – 3 d =11 – 3. 2 = 5 Ответ: 5. Решение

4) Дано: (b n ) геометрическая прогрессия b 4 = 40 q = 2 Найти: b 1. Решение: используя формулу b n = b 1 q n-1 b 4 =b 1 q 3 ; b 1 = b 4 : q 3 =40:2 3 =40 :8=5 Ответ: 5. Решение

А теперь, рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Нам дана стайка девяти чисел 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33

Квадрат, состоящий из 9 клеток, в него вписывают числа, так чтобы сумма чисел по вертикали, горизонтали диагонали была одним и тем же числом – constanta Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат. Замечание об арифметической прогрессии само по себе очень интересно. Дело в том, что из каждых девяти последовательных членов любой арифметической прогрессии натуральных чисел можно составить магический квадрат.

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат, константа C которого равна 3a+12d. Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d. a+3da+8da+d a+2da+4da+6d a+7daa+5d Пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные числа. Расположим её члены в таблицу.

Дано: (а n ) арифметическая прогрессия а 4 =12,5; а 6 =17,5 Найти: а 5 Решение: используя свойство арифметической прогрессии имеем: а 5 Ответ: 15 Ответ: 15( О)

Дано: (b n ), b 4 =12,5; b 6 =17,5 Найти: b 5 Решение: используя свойство геометрической прогрессии имеем: Ответ: 12 Ответ: 12( Д)

1)Дано: (а n ), а 1 = – 3, а 2 = 4. Найти: а 16 – ? 2)Дано: (b n ), b 12 = – 32, b 13 = – 16. Найти: q – ? 3)Дано: (а n ), а 21 = – 44, а 22 = – 42.Найти: d - ? 4)Дано: (b n ), b п > 0, b 2 = 4, b 4 = 9.Найти: b 3 – ? 5)Дано: (а n ), а 1 = 28, а 21 = 4. Найти: d - ? 6) Дано: (b n ), q = 2. Найти: b 5 – ? 7) Дано: (а n ), а 7 = 16, а 9 = 30.Найти: а 8 –?

Ответы: 1) 102; ( П) 2) 0,5; ( В) 3) 2; ( Р) 4) 6; ( Г) 5) – 1,2; ( Е) 6) 8; ( С), 7) 23.

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла: 3-5минут на выполнение заданий по группам, решение показать на доске ) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии ) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (а п ), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8? 6.5.1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию ) В геометрической прогрессии b 12 = 3 15 и b 14 = Найдите b 1.

Ответы: 6.1 (20,4)( И) 6.2. (является), 6.5. (6;8,2;104;126;148;17.), 6.8. (b 1 =3 4 или b 1 = –3 4 ).

ПРОГРЕССИО ВПЕРЁД

Урок сегодня завершён, Урок сегодня завершён, Но каждый должен знать: Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни К прогрессу в жизни приведут. приведут.

Разработчик: учитель математики МБОУ «Гимназия9» г.Усолье - Сибирское Иркутской области