Понятия теории множеств П онятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором ( ).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так: Множество- совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Среди множеств выделяют особое множество - пустое множество. Пустое множество- множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является частью любого множества. 3. Примеры пустых множеств. Решение: 1) Множество квадратных уравнений, которые имеют более двух разных корней; 2) множество простых делителей числа 1; 3) множество точек пересечения двух параллельных прямых; 4) множество прямых углов равностороннего треугольника; 5) множество людей на Солнце; 6) множество двузначных положительных чисел, расположенных на числовом луче левее 9.

Множество считается определенным, если указаны все его элементы. Эти элементы могут быть указаны с помощью некоторого общего признака или с помощью некоторого списка, где обозначены все элементы. Конечное множество- множество, состоящее из конечного числа элементов. Бесконечное множество- непустое множество, не являющееся конечным.

Пример: Множество натуральных чисел является бесконечным. Упорядоченное множество - множество, каждому элементу которого поставлено в соответствие некоторое число (номер этого элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так что различным элементам соответствуют различные числа. Каждое конечное множество можно сделать упорядоченным, если, например, переписать все элементы в некоторый список (a, b, c, d,...), а затем поставить в соответствие каждому элементу номер места, на котором он стоит в списке.

Перечислением элементов множества; Описанием общего (характеристического) свойства, объединяющего элементы. Приведите примеры множеств. Используя способы их задания.

Пример: Множество учеников данного класса определяется их списком в классном журнале, множество всех стран на земном шаре - их списком в атласе, множество всех костей в человеческом теле - их списком в учебнике анатомии. Пример: Хотя множество всех рыб в океане конечно, вряд ли его можно задать списком. Пример: Свойство "быть квадратом целого числа" задает (бесконечное) множество всех квадратов целых чисел. Пример: Множество толстокожих животных, имеющих два бивня, совпадает со множеством толстокожих животных, имеющих хобот, - это множество слонов.

Отношения между множествами Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Пример : Равными являются все пустые множества. Равенство множеств А и В записывают в виде А = В. Отношение "=" называется отношением равенства. На диаграмме Эйлера - Венна утверждение " множество А является подмножеством множество В " изображают так Множество А называют подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В То, что множество А является подмножеством множества В обозначают так Таким образом, подмножеством данного множества В является и само множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества.

1. Множество может быть задано перечислением всех его элементов. П р и м е р ы : 1. Множество цифр : А = {0,1,2,...,9}; 2. Множество лиц, присутствующих на собрании : В = { Иванов, Сидоров, Петров, Павлов }

Обобщение первого способа состоит в том, что каждый элемент задаваемого множества определяется по некоторому элементу уже известного множества. П р и м е р ы : считая известным множество действительных чисел Z = {... -3,-2,-1,0,1,2,3,...}, определим множество степеней числа 10 D = {..., 10 -3, 10 -2,10 -1,10 0, 10 1,10 2,10 3,...}

П р и м е р ы : 1. Считая известным множество натуральных чисел N = {1,2,3,4,...}, определим множество четных чисел L = {2,4,6,..., 2n+2,...}, где n N. 2. [ а,b] = { х : а х b} - отрезок ; 3. B - множество деревьев в парке 4. Множество трехголовых людей пусто, т. е. оно не содержит ни одного элемента ( обозначать это множество будем )

Суммой, или объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А,В. Объединение множеств обозначается На диаграмме Эйлера-Венна объединение двух множеств выглядит так П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {1,2,3,4}.

Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. Пересечение множеств обозначается На диаграмме Эйлера-Венна пересечение двух множеств выглядит так П р и м е р : {1,2,3} {2,3,4} = {2,3}

Разностью между множеством В и множеством А называется множество всех элементов из В, не являющихся элементами из А. Разность двух множеств обозначается На диаграмме Эйлера-Венна разность двух множеств выглядит так

13. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский 27 учащихся, а два языка 18 учащихся. Сколько учащихся в классе? Решение: Пусть А- множество учащихся изучающих английский язык, Ф - множество учащихся изучающих французский язык, О - множество учащихся изучающих английский и французский язык =7(уч.) – изучают только английский; 27-18=9(уч.)– изучают только французский; 3)18+(7+9)=34(уч.) Ответ: в классе 34 ученика.