Решение задач по теме: «Сечение многогранников» РТ г. Казань Московский район УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ: ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ ШКОЛЫ 20 СУББОТИНА Л. Н.; ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ ШКОЛЫ 99 АХМЕТЗЯНОВА А. С.

Являются ли закрашенные фигуры сечениями изображенных на рисунках треугольных и четырехугольных пирамид плоскостями PQR

Сечение куба плоскостью 1.Могут ли куб Ф и плоскость α иметь: а) только одну общую точку; б) Только две общие точки; в) только один общий отрезок; г) не иметь ни одной общей точки? 2. Сколько сторон может иметь многоугольник, полученный при пересечении куба плоскостью? 3. Какие виды четырехугольник а могут получиться при пересечении куба плоскостью?

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α (AA 1 DD 1 ) = ML; A D1D1 B D C B1B1 A1A1 M C1C1 N L

1 Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α (AA 1 DD 1 ) = ML; ML (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = ML A 1 D 1 = X 1 ; A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 M X1X1 N L

1 Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α (AA 1 DD 1 ) = ML; ML (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = ML A 1 D 1 = X 1 ; α (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = KN; A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 M X1X1 N L K

1 Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α (AA 1 DD 1 ) = ML; ML (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = ML A 1 D 1 = X 1 ; α (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = KN; α (AA 1 B 1 B ) = MK; ML (DD 1 C 1 C ) = = ML DD 1 = X 2 ; A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 M X1X1 N L K X2X2

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ: (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α (AA 1 DD 1 ) = ML; ML (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = ML A 1 D 1 = X 1 ; α (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = KN; α (AA 1 B 1 B ) = MK; ML (DD 1 C 1 C ) = = ML DD 1 = X 2 ; KN (DD 1 C 1 C ) = = KN D 1 C 1 = X 3 ; A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 M X1X1 N L K X2X2 X3X3

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ: (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α (AA 1 DD 1 ) = ML; ML (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = ML A 1 D 1 = X 1 ; α (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = =KN; α (AA 1 B 1 B ) = MK; ML (DD 1 C 1 C ) = = ML DD 1 = X 2 ; KN (DD 1 C 1 C ) = = KN D 1 C 1 = X 3 ; α (DD 1 C 1 C ) =TP; A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 M X1X1 N L K X2X2 X3X3 T P

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ: (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α (AA 1 DD 1 ) = ML; ML (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = = ML A 1 D 1 = X 1 ; α (A 1 B 1 D 1 D 1 ) = KN; α (AA 1 B 1 B ) = MK; ML (DD 1 C 1 C ) = = ML DD 1 = X 2 ; KN (DD 1 C 1 C ) = = KN D 1 C 1 = X 3 ; α (DD 1 C 1 C ) =TP; α (ABCD ) =LP; α (BB 1 C 1 C ) =NT; LMKNTP-искомое сечение MK TP, KN LP, NT ML. A D1D1 B D C C1 B1B1 A1A1 M X1X1 N L K X2X2 X3X3 T P

Задача 1 Построить сечение через заданные точки 1. Получим вспомогательные точки Х 1 и Х 2. 2.Соединив точки Х 1 и Х 2, получим точки Х 3 и Х 4. 3.Строим отрезки АХ 3 и СХ 4 (пунктиром). 4.Получим сечение NMPX 4 X 3 A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 M N Х3Х3 Х1Х1 Х2Х2 Р Х4Х4

Задача 2 Построить сечение через заданные точки AD 1MP =X 2 ; MKА 1 В 1 =X 1 ; X 1 X 2C 1 D 1 =X 3 ; X 1 X 2 B 1 C 1 =X 3 ; MPX 3 X 4 K- искомое сечение A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 M P K X3X3 X2X2 X1X1 X4X4

Задача 4 Построить сечение через заданные точки HT DD 1 = X 1 ; X 1 K AD = X 2 ; X 2 K AА 1 =X 3 ; X 2 HAВ=X 4 ; HTKX 3 X 4 – искомое сечение A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 H T K X2X2 X1X1 X4X4 X3X3

1 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, S, F Точки M, F лежат в одной плоскости. MF DD 1 = X 1 ; Теперь точки X 1, S лежат в одной плоскости. Соединяем их, получим: X 1 S D 1 C 1 = X 2 ; Точки M, S так же лежат в одной плоскости. Получим сечение MSX 2 F A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 M X1X1 X2X2 F S

2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки R, E, G RE DD 1 = X 1 ; X 1 G D 1 C 1 = X 2 ; X 1 G DC= X 3 ; X 3 R BC= X 4 ; ERX 4 GX 2 – искомое сечение A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 X1X1 R X3X3 X4X4 G E X2

3 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, V, К A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 X3X3 Х1Х1 ответ X2X2 K V M X5X5 MV B 1 C 1 = X 1 ; X 1 K A 1 B 1 = = X 2 ; KX 3 MV; KX 3 AD= X 4 ; DC VX 4 = X 5; VMX 2 KX 3 X 5 – искомое сечение X4X4

4 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки F, S, W 1.Точки F и S в одной плоскости DD 1 С 1 C. 2.Прямая FS пересекается с прямой DC в точке Х 1. 3.Точки W и Х 1 лежат в одной плоскости АВСD. 4.Прямая WХ 1 пересекается с прямой AD в точке Х 2, с прямой ВС - Х 3. 5.Получим сечение FSX 2 W X 4 A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 W F S X2X2 X1X1 X4X4 X3X3

В кубе АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 проведены диагонали так, как показано на рисунке. Докажите: а) В 1 СD 1 А- тетраэдр; б) найдите поверхность тетраэдра, если ребро равно a. A D1D1 B D C C1C1 B1B1 A1A1 ответ

Задачи для индивидуальной работы: 1.Установите вид сечения куба плоскостью α : а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см; б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ; в) докажите.

Задачи для индивидуальной работы: 1.Установите вид сечения куба плоскостью α : а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см; б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ; в) докажите.

Задачи для индивидуальной работы: 1.Установите вид сечения куба плоскостью α : а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см; б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5см ; в) докажите.

Задачи для индивидуальной работы:

Контрольная работа по теме: «Сечения многогранников»