Построение графиков функций, уравнений и соответствий ЧУДАЕВА Е. В. учитель математики, г. Инсар, СОШ 1 Элективный курс, 10 класс

прояснить и дополнить школьный материал, связанный с функциями и построением их графического изображения, представить систематизацию функций не по видам, а по методам построения их графиков. Цель элективного курса

знакомство учащихся с методами решения различных по формулировке нестандартных задач, связанных с построениями графиков соответствий; привитие навыков употребления функционально- графического метода при решении задач; расширение и углубление знаний по математике по программному материалу. Задачи элективного курса

Тематическое планирование Тема занятий количество часов Форма проведен и образовательн ый продукт всег о теори я практи 1 Понятия функции и графика: зависимость; график функции; способы задания функции 211лекция опорный конспект 2 Преобразование графиков: перенос вдоль оси ординат; перенос вдоль оси абсцисс; сжатие (растяжение) вдоль оси ординат; сжатие (растяжение) вдоль оси абсцисс 422 лекция, практи- кум, тренинг опорный конспект, решенные задания 3 Действия над функциями: сумма (разность) функций; произведение функций; частное двух функций; функции, содержащие операцию взятия модуля 312 лекция, мастер класс таблицы, схемы, опорный конспект 4 Дополнительный материал: функционально-графический подход к решению задач построения графиков суперпозиций простейших функций 422 лекция, практи- кум решенные задания 5 Итоговая диагностика 1-1защита работы, проекта Итого 1468

Параллельный перенос вдоль оси OY Параллельный перенос вдоль оси OY Параллельный перенос вдоль оси OX Параллельный перенос вдоль оси OX Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OY Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OY Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OX Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси OX Симметричное отображение относительно оси OX Симметричное отображение относительно оси OX Симметричное отображение относительно оси OY Симметричное отображение относительно оси OY Содержание Построение графика

Параллельный перенос вдоль оси ординат Для построения графика функции необходимо график функции перенести вдоль оси OY на вектор (0; а) Содержание

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс Для построения графика функции необходимо график функции перенести вдоль оси OX на вектор (а; 0) Содержание

х у х у Построить график функций, сдвигом вдоль: а) оси ординат; б) оси абсцисс

Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси ординат Для построения графика функции необходимо график функции растянуть в k раз вдоль оси OY для k>1 или сжать в 1/k раз вдоль оси OY для k

Построить графики функций, сжатием вдоль оси ординат

Растяжение (сжатие) в k раз вдоль оси абсцисс Для построения графика функции необходимо график функции сжать в k раз вдоль оси OX для k>1 или растянуть в 1/k раз вдоль оси OX для k

х у х у Построить графики функций, сжатием вдоль оси абсцисс

Симметричное отображение относительно оси абсцисс Для построения графика функции необходимо график функции симметрично отобразить относительно оси OX Содержание

х у х у Построить графики функций, симметричным отображением вдоль оси абсцисс

Симметричное отображение относительно оси ординат Для построения графика функции необходимо график функции симметрично отобразить относительно оси OY Содержание

х у х у Построить графики функций, симметричным отображением вдоль оси ординат

Построение графика Для построения графика функции необходимо часть графика функции, лежащую в области, оставить неизменной, а часть графика функции, лежащую в области, симметрично отобразить относительно оси OX Содержание

Построить графики функций х у х у 4

Построение графика Для построения графика функции необходимо часть графика функции, лежащую в области, оставить неизменной, и её же отобразить симметрично относительно оси OY в область Содержание

х у х у Построить графики функций

Постройте график функции Решение. Построим в одной системе координат графики функций Путем сложения соответствующих координат получаем искомый график х у

Построить график функции Построим пунктиром в одной системе координат графики функции и Путем сложения соответствующих координат получаем искомый график х у 1 0

Постройте график функции Построим графики функции и Путем умножения соответствующих координат получаем искомый график

Отображая полученные линии, получаем искомое множество точек. Построить на плоскости множество точек заданных уравнением: 1 у х Заметим, что график симметричен относительно осей координат. Для I четверти система примет вид:

МЕТОД ОБЛАСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ Ключ решения: Графический приемСвойства функций Параметр – «равноправная» переменная отведем ему координатную ось т.е. задачу с параметром будем рассматривать как функцию f (x ; a) >0 Общие признаки задач подходящих под рассматриваемый метод В задаче дан один параметр а и одна переменная х Они образуют некоторые аналитические выражения F (x;a), G (x;a) Графики уравнений F(x;a) = 0, G(x;a) = 0 строятся несложно 1.Строим графический образ 2.Пересекаем полученный график прямыми перпендикулярными параметрической оси 3.«Считываем» нужную информацию Схема решения:

Найти все значения а, при которых уравнение Данное уравнение равносильно совокупности Выражая параметр а, получаем: График этой совокупности – объединение уголка и параболы. пересекает полученное объединение в трех точках. имеет ровно три корня? Ответ: х а а = -1 Прямая

Данное уравнение равносильно совокупности следующих двух уравнений: По рисунку «считываем» ответ х а Ответ: Сколько решений имеет уравнение в зависимости от значений параметра а? График этой совокупности – объединение уголка и параболы.

х у Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение. 2АВ А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек удовлетворяют уравнению Ответ:

(«переход» метода интервалов с прямой на плоскость ) Неравенства с одной переменной Неравенства с двумя переменной 1. ОДЗ 2. Граничные линии 3. Координатная плоскость 4. Знаки в областях 5.Ответ по рисунку. 1.ОДЗ 2. Корни 3. Ось 4. Знаки на интервалах 5. Ответ. Метод интервалов: Метод областей: ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД ОБЛАСТЕЙ

Граничные линии: Строим граничные линии. Они разбивают плоскость на восемь областей, определяя знаки подстановкой в отдельных точках, получаем решение х у На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству

Сколько решений имеет система в зависимости от параметра а? x y Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1 Графиком первого уравнения является семейство квадратов с вершинами в точках 4 решения при а = 1 решений нет при 8 решений при 4 решения при решений нет при Ответ: решений нет, если 8 решений, если 4 решения, если

Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства. Применим обобщенный метод областей. Определим знаки в полученных областях, и получим решение данного неравенства. Осталось из полученного множества исключить решения неравенства По рисунку легко считываем ответ Ответ: х р Построим граничные линии р = 3 р =

При каких положительных значениях параметра а, система уравнений имеет ровно четыре решения? Запишем систему в виде: Построим графики обоих уравнений. Шаги построения первого уравнения: Строим уголок затем и симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Второе уравнение задает семейство окружностей с центром (2;0) и радиусом а. Ответ: х у решений нет при 8 решений при 4 решения при при решений нет; при и система имеет 4 решения; система имеет 8 решений при Итак:

Найти все значения параметра а при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение. Запишем систему в виде Построим графический образ соответствий, входящих в систему. х у Очевидно, что условие задачи выполняется при Ответ:

1)При а = 3, «вершина уголка»; Найти сумму целых значений параметра а при которых уравнение имеет три корня Исходное уравнение равносильно совокупности: В ыражая параметр а, получаем: Из рисунка видно, что уравнение имеет три корня в 3 случаях х у а 1 = 3 а 2 = ? а 3 = ? Тогда а = = 5. Ответ. 8. 2) При x < 4, 3) При х > 4, а 2 = 5 а3а3