Теоретические основы компьютера Представление чисел Машинная арифметика Представление команд

Системы счисления. Перевод десятичных чисел из одной системы счисления в другую и обратно Системы счисления. Виды систем счисления. Перевод десятичных чисел из десятичной системы счисления в любую другую и обратно. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления с помощью приложения Калькулятор в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления. Перевод целых чисел из десятичной системы счисления с помощью приложения Excel в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления, используя общий метод перевода.

Основные понятия темы Система счисления - это способ записи (изображения) чисел. Цифра - это символ, используемый в записи числа. 12 Алфавит системы счисления - это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления. двенадцать ХII - различные способы записи одного числа - значение числа остается неизменным 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - алфавит десятичной позиционной системы счисления I, V, X, L, C, D, M - алфавит римской непозиционной системы счисления

Виды систем счисления Системы счисления Непозиционные системы счисленияПозиционные системы счисления Непозиционные системы счисления - системы счисления, в которых от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Позиционные системы счисления - системы счисления, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа зависит от ее позиции.

Непозиционные системы счисления Примером непозиционной системы счисления является система счисления Древнего Египта. Ее алфавитом служили следующие знаки: Пример числа, записанного в системе счисления Древнего Египта: Другой пример непозиционной системы счисления - римская система счисления. В ее основе лежали знаки: Пример числа, записанного в римской системе счисления: X X I Х 10 От положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает = 29

1 · · · · · · 10 0 Число в позиционной системе счисления Привычная нам десятичная система является позиционной системой счисления: Цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения. Базис позиционной системы счисления - последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в записи числа. Основание позиционной системы счисления - целое число, которое возводится в степень. единицы сотни десятки десятки тысяч тысячи сотни тысяч 10 1, 10 2, 10 3, 10 4, …, 10 n, … - базис десятичной позиционной системы счисления основание десятичной позиционной системы счисления =

Представление числа в системе счисления Формула представления числа Пример представления числа в 2-ичной системе счисления: = 1 · · · · · ·2 0 = = ,011 2 = 1 · · · · · ·2 -3 Пример представления числа в 16-ричной системе счисления: 3D 16 = 3 · ·16 0 A32D,2E 16 = 10 · · · · · · = Х b = a n · b п + … + a 0 · b 0 + a -1 · b ,65 = Пример представления числа в 10-тичной системе счисления: = 6 · · , = 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 -2

Десятичная система счисления Примеры позиционных систем счисления Двоичная система счисления = двоичная система счисления алфавит: цифры 0, 1 базис:...2 -п, , , 2, 2 2, …, 2 п,… основание: число 2 Пример записи числа в системе счисления : десятичная система счисления алфавит: цифры 0…9 базис: п,…, 10 -2, , 10 1, 10 2, …, 10 п,... основание: число 10

Шестнадцатиричная система счисления алфавит: цифры 0-9, буквы A, B, C, D, E,F базис: п,…, 16 -2, , 16 1, 16 2, …, 16 п,... основание: число ричная система счисления Десятичная система счисления D 16 = Пример записи числа в системе счисления : Примеры позиционных систем счисления десятичная система счисления алфавит: цифры 0…9 базис: п,…, 10 -2, , 10 1, 10 2, …, 10 п,... основание: число 10

Перевод десятичного числа 2359,407 в двоичное Нахождение целой части числа (деление на 2) Нахождение дробной части числа (умножение на 2) Целая часть : Дробная часть : Порядок записи остатков Порядок записи целых чисел 2359,407 = ,

Использование калькулятора при переводе чисел из одной системы счисления в другую.Режим работы в двоичной системе счисления Режим работы в восьмеричной системе счисления 75 8.Режим работы в десятичной системе счисления Режим работы в шестнадцатиричной системе счисления 3D 16

Двоичная арифметика Первые девять чисел двоичной системы счисления Таблица сложения – Таблица умножения – – 0

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную Для записи двоичных чисел используются две цифры, т.е. в каждом разряде числа возможны два варианта записи. Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит. Алгоритмы, описанные ниже, могут применяться при переводе чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны восемь вариантов записи. Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны шестнадцать вариантов записи. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита.

Для перевода дробного двоичного числа в восьмеричное нужно: Запись числа разбить слева направо на триады (если в последней правой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо её дополнить справа нулями) Преобразовать каждую триаду в восьмеричную цифру Переведём таким образом двоичное число 0, в восьмеричное: Двоичные триады Восьмеричные цифры56 Получаем 0, = 0,65 8

Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное нужно: Разбить его на группы по четыре цифры (тетрады), справа налево (если в последней левой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо её дополнить слева нулями) Преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру Переведём таким образом двоичное число в шестнадцатеричное: Двоичные тетрады Шестнадцатеричные цифры29 Получаем = 29 16

Для перевода дробного двоичного числа в шестнадцатеричное нужно: Разбить его на тетрады, слева направо (если в последней правой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо её дополнить справа нулями) Преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр Переведём таким образом дробное двоичное число 0, в шестнадцатеричную систему счисления: Двоичные тетрады Шестнадцатеричные цифрыD (14)4 Получаем 0, = 0,D4 16

Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную: для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в триаду для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в тетраду Переведём дробное восьмеричное число 0,47 8 в двоичную систему счисления: Восьмеричные цифры47 Двоичные триады Получаем 0,47 8 = 0, Переведём целое шестнадцатеричное число АВ16 16 в двоичную систему счисления: Шестнадцатеричные цифрыАВ Двоичные тетрады Получаем АВ16 16 =

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное нужно: Разбить его на группы по три цифры, справа налево (если в последней левой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо её дополнить слева нулями) Преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру Переведём таким образом двоичное число в восьмеричное: Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по три цифры) в восьмеричные цифры. Двоичные триады Восьмеричные цифры =

Использование калькулятора при переводе чисел из одной системы счисления в другую ПРИМЕР Перевести число 2359 из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную при помощи калькулятора. Выбираем режим работы в той системе, в которой дано число ( десятичная система);. Набираем число, с которым хотим работать (2359);. Переключаемся в режим работы системы счисления, в которой требуется получить ответ (шестнадцатиричная система) и получаем результат.