Хочешь, я пойду с тобой рядом?

Определение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат.

Ребро куба равно a. Найти расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба. A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A C D B

до плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяется по формуле h = |Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D| (A 2 +B 2 +C 2 ) ½ Докажем, что расстояние h от точки M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) Вектор MK a, как и вектор n(A;B;C), т.е. векторы MK и n – коллинеарны, MK= λn. Так как MK(x-x 0 ;y-y 0 ;z-z 0 ) и n(A;B;C), то x-x 0 =λA, y-y 0 =λB, z- z 0 =λC. Точка K лежит в плоскости a, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости. Подставляем x=x 0 +λA, y=y 0 +λB, z=z 0 +λC в уравнение Ax+By+Cz+D=0 получаем λ = - Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A 2 +B 2 +C 2 Пусть прямая, проходящая через точку M a, пересекает ее в точке K с координатами (x;y;z). K(x;y;z) Находим длину вектора MK, которая равна расстоянию от точки M до плоскости: |MK|=| λn |=| λ| * (A 2 +B 2 +C 2 ) ½ Итак, расстояниние от М до плоскости равно: h = |Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D| (A 2 +B 2 +C 2 ) ½

A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 A C D B В нашей задаче диагональ AB 1 грани AA 1 B 1 B || DC 1, поэтому DC 1 || (AB 1 C). Определим расстояние от точки D до плоскости AB 1 C. Введем прямоугольную систему координат.

Пусть уравнение плоскости AB 1 C задается kx+by+cz+d=0 A(0;0;0) ( AB 1 C) d=0 C(a;a;0) ( AB 1 C) ka+ ba=0 b=-k B 1 (a;0;a) ( AB 1 C) ka+ ca c=-k A1A1 B 1 (a;0;a) C 1 (a;a;a) D1D1 A (0;0;0) C (a;a;0) D (0;a;0) B (a;0;0) x y z Подставим значение в ур-ие плоскости:kx-ky- kz+0 x-y-z=0.Найдем расстояние h от точки D(0;a;0) до плоскости AB 1 C по формуле: