Приведём примеры, где мы сталкиваемся с показательной функцией в повседневной жизни, а также, как она применяется на практике. Напомним вид показательной функции: y=a x, где а0, а 1, хR. Показательная функция y=a x встречается в самых различных областях науки – в физике, химии, биологии, экономике.

Её график:

О себе показательная функция говорит так:

Показательная функция в жизниПоказательная функция в жизни 1. Рост древесины происходит по закону:, где А - изменение количества древесины во времени; A 0 - начальное количество древесины; t – время; k, a – некоторые постоянные.

Давление воздуха убывает с высотой по закону:, где Р – давление на высоте h; P 0 - давление на уровне моря; a – некоторые постоянные.

Рост количества бактерий происходит по закону:, где N – число колоний бактерий в момент времени t; t – время размножения. N=5 t

Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается формулой:, где N 0 - первоначальное количество вещества; Т½ - период полураспада.

Опишем более полно одно из важнейших физических явлений, которое связано с показательной функцией в жизни, - радиоактивный распад. После открытия радиоактивности в опытах Беккереля и супругов Кюри возник вопрос, по какому закону происходит распад атомов. Оказалось, что количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Иными словами, за данный промежуток времени всегда распадается одна и та же доля наличного запаса атомов. Физики назвали промежуток времени, в течение которого распадается половина тех имеющихся атомов, периодом полураспада данного вещества. Этот период различен для разных веществ: для урана – 238 он равен 4,5 млрд. лет, для радия – 1620 лет, а для полония – 84 период полураспада равен всего 1,5· сек. Если период полураспада данного вещества равен Т, то через промежуток времени пТ остается (½) n - я доля этого вещества. Иными словами, если в начале количество вещества равнялось М, то через промежуток времени t=пТ его останется m=M (½) t/T. Из этой формулы вытекает, что за лет, т.е. за тысячу периодов полураспада радия, его количество уменьшается в раз, т.е. более чем в раз. Если бы даже вся наша Галактика Состояла из атомов радия, то их число все равно было бы неизмеримо меньше, чем , и потому за лет весь радий распался бы. Не следует делать из сказанного вывод, что Галактика существует меньше полутора миллионов лет – время ее существования исчисляется миллиардами лет. Дело в том, что радий все время появляется в ходе распада урана – 238, а за все время существования Земли количество урана уменьшилось всего в два раза.

5. Площадь сечения троса связана с сопротивлением разрыва также по показательному закону. Сейчас многие бороздят исследовательские корабли. В заранее установленных местах они останавливаются и спускают за борт трос, на конце которого находятся приборы. Их спускают на дно, а потом поднимают наверх и записывают показания. Но иногда происходит печальное событие – трос разрывается, и все ценные приборы оказываются погребенными на дне моря. Казалось бы, этой беды можно было бы избежать, сделав трос потолще. Но тут возникает новое осложнение – верхние части троса должны удерживать не только спускаемые приборы, но и нижнюю часть самого троса, потому что при утолщении всего троса на верхнюю часть ляжет слишком большая нагрузка. Поэтому целесообразно делать нижнюю часть троса тоньше, чем верхнюю. Возникает вопрос: как должна меняться толщина троса для того, чтобы в любом его сечении на 1 см 2 приходилась одна и та же нагрузка?

Исследование этого вопроса показало, что площадь сечения троса должна изменяться по следующему закону:, где S 0 - площадь его нижнего сечения; S – площадь сечения на высоте х от нижнего сечения» У – удельный вес материала, из которого сделан трос; Р – вес в воде опускаемого груза. Такой трос называют тросом равного сопротивления разрыва. Он имеет меньшую массу, чем трос постоянного сечения, рассчитанный на такую же нагрузку.

6. Процесс изменения температуры чайника при кипении выражается формулой: Т=Т 0 + (100-Т 0 )е -kt. Это также пример процесса выравнивания, который в физике можно наблюдать при включении и выключении электрических цепей и при падении тела с парашютом

7. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света l определяется по формуле: l=l 0 e -ks, где S – толщина слоя; K – коэффициент, Характеризующий мутную среду