Научно - исследовательская работа «Геометрическая мозаика на плоскости» «Геометрическая мозаика на плоскости» Работу выполнил Ильичёв Евгений ученик 11 класса Руководитель Ильичёва Н.И. учитель математики

Мозаики с древних времён привлекали к себе внимание людей. Мозаики являются объектом исследования математиков. Результаты здесь получены отечественными учёными академиками А. Д. Александровым, Б. Н. Делоне, Е. С. Фёдоровым. Введение.

Цели исследования : 1. Закрепить знания о свойствах правильных многоугольников в процессе исследования вопроса о покрытии плоскости правильными многоугольниками. 2. Обосновать с помощью математических фактов, как можно уложить мозаику на плоскости вокруг одной точки без просвета. 3. Убедиться в практической значимости исследуемой гипотезы.

Проблема Как устроена геометрическая мозаика на плоскости? Из скольких разных фигур правильных многоугольников можно сложить мозаику на плоскости вокруг одной точки без просвета? Выяснить значимость изучаемой работы в нашей жизни.

Что такое мозаика? Математик, так же как и художник или поэт, создает узоры. (Г. Харди.) Мозаика – это бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Мозаика производит приятное впечатление, если она достаточно симметрична.

Красивую мозаику можно составить из равносторонних треугольников, квадратов и из правильных многоугольников. При схождении в одной вершине 7 и более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике должен быть менее 60, что невозможно. При схождении в одной вершине 2 многоугольников у одного из них внутренний угол должен быть более 180, что, очевидно, также невозможно. Решение задачи распадается на анализ тех вариантов, когда в вершине сходятся 3, 4, 5 и 6 правильных многоугольников.

Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета: 1. С помощью одноимённых правильных многоугольников: 4 правильными четырехугольниками (квадратами); 3 правильными шестиугольниками; 6 правильными треугольниками.

n – число сторон правильного многоугольника, тогда ( n – 2 ) · 180 – сумма всех внутренних углов многоугольника и ( n – 2 ) · 180/n – каждый угол правильного многоугольника. Если n = 3, то значит это возможно сделать правильными треугольниками и их число равно 360 : 60 = 6. С помощью 6 правильных треугольников

С помощью 4 квадратов Если n = 4, то значит это возможно сделать правильными четырехугольниками и их число равно 360 : 90 = 4

С помощью 3 шестиугольников Если n = 6, то значит это возможно сделать правильными шестиугольниками и их число равно 360 : 120 = 3

Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета: 2. С помощью правильных многоугольников двух различных форм: 3 треугольниками и 2 четырёхугольниками; 4 треугольниками и 1 шестиугольником; 2 треугольниками и 2 шестиугольниками; 1 четырёхугольником и 2 восьмиугольниками; 1 треугольником и 2 двенадцатиугольниками.

С помощью 3 треугольников и 2 квадратов: n – количество треугольников, m – количество квадратов, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+90m=360. Если n = 3, то 90m = ·3; 90m = 180; m = 2.

Вокруг одной точки можно уложить плоскость без просвета: 3. С помощью правильных многоугольников трех различных форм: 1 треугольником, 2 четырёхугольниками и 1 шестиугольником; 2 треугольниками, 1 четырёхугольником и 1 двенадцатиугольником; 1 четырёхугольником, 1 шестиугольником и 1 двенадцатиугольником.

С помощью 1 треугольника, 2 квадратов и 1 шестиугольника. n – количество треугольников, m – количество четырёхугольников, k – количество шестиугольников, тогда согласно гипотезе должно выполняться равенство 60n+90m+120k =360. Если n = 1, m =2, то 120k = ·1- 90·2; 120k = 120; k =1.

Мозаики в природе Проявление свойств мозаик сказываются на свойствах различных природных минералах и кристаллов. Форму геометрических мозаик имеют соты мёдоносных пчёл. Ячейки сота имеют правильную шестигранную форму.

Применение Геометрическая мозаика широко встречается и используется: в строительстве и ремонте жилых помещений; в спортивных играх; в декоративно - прикладном искусстве;

Заключение В вершине мозаики может сходиться не более 6 и не менее 3 правильных многоугольников. Существует только конечное число мозаик: 11. «Геометрия как один из разделов математики- это не только стройная система законов, но и уникальное средство познания мира».